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Jesse Beisegel

• We study convexities designed to characterise some of the most fundamental classes of graphs. To this end, we present some known results on this topic in a slightly different form, so as to give a homogeneous representation of a very disparate field. Furthermore, we present some new results on the Caratheodory number of interval graphs and also give a more or less exhaustive account of everything that is known in this context on AT-free graphs, including new results on characterising linear vertex orders and the structure of the intervals of this class. We introduce the new class of bilateral AT-free graphs which is motivated by the linear order characterisation and the convexity used to describe AT-free graphs. We discuss their relation to other known classes and consider the complexity of recognition. Furthermore, as a consequence of notions from abstract convexity we present algorithmic results with regards to some natural subclasses of these. As an application of notion of an extreme vertex of a convex geometry, we discussWe study convexities designed to characterise some of the most fundamental classes of graphs. To this end, we present some known results on this topic in a slightly different form, so as to give a homogeneous representation of a very disparate field. Furthermore, we present some new results on the Caratheodory number of interval graphs and also give a more or less exhaustive account of everything that is known in this context on AT-free graphs, including new results on characterising linear vertex orders and the structure of the intervals of this class. We introduce the new class of bilateral AT-free graphs which is motivated by the linear order characterisation and the convexity used to describe AT-free graphs. We discuss their relation to other known classes and consider the complexity of recognition. Furthermore, as a consequence of notions from abstract convexity we present algorithmic results with regards to some natural subclasses of these. As an application of notion of an extreme vertex of a convex geometry, we discuss structural aspects of avoidable vertices in graphs, which form a generalisation of simplicial vertices. This includes a characterisation of avoidable vertices as simplicial vertices in some minimal triangulation of the graph and a new proof of the existence result. Furthermore, we discuss the algorithmic issues regarding the problem of efficient computation of avoidable vertices in a given graph. This is complemented by an algorithmic application of the concept of avoidable vertices to the maximum weight clique problem, by identifying a rather general class of graphs in which every avoidable vertex is bisimplicial. This leads to a polynomial-time algorithm for the maximum weight clique problem in this class of graphs. Implications of this approach for digraphs are also discussed. All of these results lead to a conjecture concerning the generalisation of avoidable vertices to avoidable paths and we prove this conjecture for paths of length less or equal to two. Finally, we analyse the properties of many different and widely used forms of graph search. Here, we discuss the problem of recognising whether a given vertex can be the last vertex visited by some fixed graph search. Moreover, we present some new aspects of the problem of deciding whether a given spanning tree of a graph is a graph search tree of a particular type of search. We generalise the concept of such trees to many well-known searches and give a broad analysis of the computational complexity of this problem. Both of these discussions are motivated by the use of graph searches in the context of computing properties of convexity.…
• In dieser Arbeit betrachten wir Konvexitäten, die entworfen wurden, um einige der grundlegendsten Graphenklassen zu charakterisieren. Dazu präsentieren wir einige bekannte Resultate zu diesem Thema in einer abgeänderten Form, um eine homogene Darstellung eines diversen Felds zu bieten. Außerdem, geben wir neue Resultate über die Caratheodory Zahl von Intervallgraphen, sowie einen weitestgehend vollständigen Überblick über alle Ergebnisse bezüglich der charakterisierenden Konvexität von AT-freien Graphen, welcher auch neue Ergebnisse über charakterisierende Knotenordnungen und die Struktur der Intervalle dieser Klasse umfasst. Wir führen die neue Klasse der bilateral AT-freien Graphen ein, welche durch die charakterisierende Knotenordnung und Konvexität der AT-freien Graphen motiviert ist. Wir diskutieren das Verhältnis dieser Graphen zu anderen Unterklassen der AT-freien Graphen und untersuchen die Komplexität ihrer Erkennung. Außerdem geben wir einige algorithmische Ergebnisse zu Unterklassen von bilateral AT-freien Graphen, welcheIn dieser Arbeit betrachten wir Konvexitäten, die entworfen wurden, um einige der grundlegendsten Graphenklassen zu charakterisieren. Dazu präsentieren wir einige bekannte Resultate zu diesem Thema in einer abgeänderten Form, um eine homogene Darstellung eines diversen Felds zu bieten. Außerdem, geben wir neue Resultate über die Caratheodory Zahl von Intervallgraphen, sowie einen weitestgehend vollständigen Überblick über alle Ergebnisse bezüglich der charakterisierenden Konvexität von AT-freien Graphen, welcher auch neue Ergebnisse über charakterisierende Knotenordnungen und die Struktur der Intervalle dieser Klasse umfasst. Wir führen die neue Klasse der bilateral AT-freien Graphen ein, welche durch die charakterisierende Knotenordnung und Konvexität der AT-freien Graphen motiviert ist. Wir diskutieren das Verhältnis dieser Graphen zu anderen Unterklassen der AT-freien Graphen und untersuchen die Komplexität ihrer Erkennung. Außerdem geben wir einige algorithmische Ergebnisse zu Unterklassen von bilateral AT-freien Graphen, welche aus der Analyse ihrer Konvexität folgen. Als Anwendung des Begriffs eines Extremknoten einer konvexen Geometrie diskutieren wir einige strukturelle Aspekte von vermeidbaren Knoten, welche eine Verallgemeinerung der simplizialen Knoten darstellen. Dies beinhaltet eine Charakterisierung von vermeidbaren Knoten als simpliziale Knoten einer minimalen Triangulierung eines Graphen, sowie einen neuen Beweis über deren Existenz. Wir analysieren die algorithmischen Aspekte des Erkennungsproblems von vermeidbaren Knoten eines gegebenen Graphen. Diese Ergebnisse verwenden wir, um das Konzept eines vermeidbaren Knotens zur Berechnung von Cliquen maximalen Gewichts algorithmisch auszunutzen, indem eine Klasse ermittelt wird, für die jeder vermeidbare Knoten bisimplizial ist. Dies führt zu einem Polynomialzeitalgorithmus zur Berechnung einer Clique maximalen Gewichts auf dieser Klasse. Die Konsequenzen dieses Ansatzes werden auch für gerichtete Graphen analysiert. Alle diese Ergebnisse geben den Anlass zu einer Vermutung, die die Existenz vermeidbarer Knoten zu der Existenz vermeidbarer Pfade ausweitet; diese Vermutung wird für Pfade der Länge 1 und 2 bewiesen. Schließlich betrachten wir die Eigenschaften einiger unterschiedlicher und häufig genutzter Graphensuchen. Wir diskutieren das Problem der Erkennung von Endknoten dieser Suchen. Außerdem präsentieren wir neue Ergebnisse über die Erkennung von Suchbäumen verschiedener Graphensuchen. Wir verallgemeinern das Konzept solcher Suchbäume, um weitere komplexere Suchstrategien abzufangen, und betrachten die Komplexität der Erkennung solcher Bäume. Diese Untersuchungen sind motiviert durch die häufige Verwendung von Graphensuchen, um Eigenschaften von Konvexitäten algorithmisch zu ermitteln.…