Selbstähnliche Polyeder

In der vorliegenden Arbeit werden neben den k-replizierenden konvexen und nichtkonvexen Polygonen auch k-replizierende d-dimensionale Polyeder mit d ≥ 3 studiert. ¨Uber solche Polyeder weiß man bis jetzt nur sehr wenig. E. Hertel hat die 8-replizierenden dreidimensionalen Simplexe untersucht [14] und eine Klasse 2d-replizierender d-dimensionaler Polyeder bestimmt [16]. Außerdem gibt es von Ch. Bandt eine Bemerkung, daß man durch Produktkonstruktionen z.B. zweier rechtwinkliger Dreiecke 2-replizierende Polyeder gewinnen kann [1]. Eine Vermutung von McMullen besagt, daß f¨ur d ≥ 3 jedes k-replizierende d-dimensionale Polyeder kombinatorisch äquivalent zu einem kartesischen Produkt von Simplexen ist [5, Seite 88]. Wie man mit k-replizierenden Polygonen Zerlegungen der Ebene in paarweise kongruente Polygone konstruieren kann, so kann man mit k-replizierenden d-dimensionalen Polyedern entsprechende Zerlegungen des d-dimensionalen euklidischen Raumes konstruieren. Zerlegungen des d-dimensionalen euklidischen Raumes in paarweise kongruente Polyeder sind Gegenstand zahlreicher Arbeiten (z.B. [6], [10]). Eine weitere Anwendung k¨onnen k-replizierende Polyeder in der angewandten Numerik finden. Wenn man eine Zerlegung eines Gebiets in k-replizierende Polyeder hat, kann diese Zerlegung verfeinert werden, ohne die Gestalt der Zerlegungsteile zu ändern.