Measure representations of genealogical processes and applications to Fleming-Viot models
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We study the connection between a class of tree-valued processes, arising as the evolving genealogies of population models, and measure-valued processes, that describe the evolution of the different frequencies of families in the population. It will turn out that these measure-valued processes describe the evolving genealogies uniquely and this dependence is continuous, i.e. we will prove that convergence of these measure-valued representations implies convergence of the corresponding tree-valued processes. As an example we will show that a collection of measure-valued (neutral) spatial Fleming-Viot processes can be used to describe the genealogy of the tree-valued spatial Fleming-Viot process. This allows us to deduce a convergence result of the mean genealogical distance of the spatial Fleming-Viot process when the size of the geographical space goes to infinity. Next, we define a partial order on metric measure spaces. We show that this order is closed and that, in case of dominance, one can easily calculate the Eurandom distance of two metric measure-spaces. As an example we will see that the genealogies of two (neutral) Fleming-Viot processes with different resampling rates dominate each other. Finally, we will study how to compare a neutral with a non neutral, i.e. selective, tree-valued Fleming-Viot process.
Abstract
Wir untersuchen maßwertige Prozesse, die im Bezug auf baumwertige Prozesse auftauchen und die Evolution der relativen Größen verschiedener Familien in einer Population beschreiben. Es wird sich heraustellen, dass diese maßwertigen Prozesse die evolvierenden Genealogien eindeutig beschreiben und dass diese Abhängigkeit stetig ist, d.h. wir werden zeigen, dass Konvergenz der maßwertigen Prozesse Konvergenz der entsprechenden baumwertigen Prozesse impliziert. Als Beispiel werden wir sehen, dass man eine Kollektion maßwertiger (neutraler) interagierender Fleming-Viot Prozesse benutzen kann um die Genealogie eines baumwertigen interagierenden Fleming-Viot Prozesses zu beschreiben. Diese Beobachtung wird uns dann dabei helfen eine Konvergenzaussage für den mittleren genealogischen Abstand des räumlich interagierenden Fleming-Viot Prozesses zu treffen, wenn die Größe des geographischen Raumes gegen Unendlich geht. Als Nächstes definieren wir eine Halbordnung auf dem Raum der metrischen Maßräume. Wir werden zeigen, dass diese Halbordnung abgeschlossen ist und dass man im Fall von Dominanz den Abstand zweier Maßräume sehr einfach durch den Eurandomabstand berechnen kann. Als Beispiel werden wir sehen, dass die Genealogien zweier (neutraler) Fleming-Viot Prozesse mit unterschiedlichen Resamplingraten einander dominieren. Schließlich werden wir untersuchen, wie man einen neutralen baumwerigen Fleming-Viot Prozess mit einem nicht neutralen, d.h. selektiven, baumwerigen Fleming-Viot Prozess vergleichen kann.