Time dependent solutions of the massless Gross-Neveu model
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The subject of this work time dependent solutions of the massless Gross-Neveu model. The Gross-Neveu model is a 1+1 dimensional field theory of N flavours of fermions with four-fermion interaction. In the limit of large flavour numbers N , this theory can be solved exactly by a mean field approximation equivalent to the Hartree-Fock method of relativistic many-particle physics. Nearly all solutions that have been found until now, like “kinks” and “DHN-baryons”, are time independent, since there exists a systematic way to generate such solutions. The only time dependent solution, the breather, has been found by guessing. In this thesis we present new time dependent solutions. Firstly, we show that a special case, the scattering of an arbitrary number of kinks, can be mapped onto an already solved problem. Secondly, we use the fact that Hartree-Fock potential and wave functions of the already known solutions can be written as fractions of polynomials of exponential functions. We make an ansatz of new polynomials, determine their coefficients via the Dirac equation and confirm the self consistency. That way we find analytic solutions for the scattering of up to four DHN-baryons or breathers and can even give a, yet unproven, formula for the scattering of an arbitrary number of such objects.
Abstract
Das Thema dieser Arbeit sind zeitabhängige Lösungen des masselosen Gross-Neveu Modells. Das Gross-Neveu Modell ist eine 1+1 dimensionale Theorie von Fermionen mit N Flavours und einer skalaren Vier-Fermion-Wechselwirkung. Im Limes großer Fermionzahlen N lässt sich diese Theorie exakt in mittlerer Feldnäherung, die äquivalent zur Hartree-Fock Näherung in der relativistischen Vielteilchenphysik ist, lösen. Fast alle bisher gefundenen Lösungen, wie “Kinks” und “DHN-Baryonen”, sind zeitunabhängig, da es einen systematischen Weg gibt solche Lösungen zu finden. Die einzige Ausnahme, der zeitabhängige Breather, wurde durch Raten gefunden. In dieser Arbeit stellen wir neue, zeitabhängige Lösungen vor. Zum einen zeigen wir, dass sich ein Spezialfall, nämlich die Streuung einer beliebigen Anzahl von Kinks, auf ein bereits gelöstes Problem zurückführen lässt. Zum anderen nutzen wir den Umstand dass sich für alle bisherigen Lösungen die Potentiale und Wellenfunktionen als Brüche von Polynomen von Exponentialfunktionen darstellen lassen und lösen das zeitabhängige Hartree-Fock Problem indem wir neue Polynome ansetzen, deren Koeffizienten über die Dirac-Gleichung finden und schließlich die Selbstkonsistenz prüfen. So finden wir analytische Lösungen für die Streuung von bis zu vier DHN-Baryonen oder Breathern und erhalten sogar eine, noch unbewiesene, Formel für die Streuung einer beliebigen Anzahl dieser Objekte.