Analysis, control, and singular limits for hyperbolic conservation laws
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The main focus of this thesis is on the study of singular limits related to scalar conservation laws. These are first-order partial differential equations that describe how the amount of a physical quantity in a given region of space changes over time, solely determined by the flux of that quantity across the boundary of the region.
The first part of this manuscript deals with nonlocal regularizations of scalar conservation laws, where the flux function depends on the solution through the convolution with a given kernel. These models are widely used to describe vehicular traffic, where each car adjusts its velocity based on a weighted average of the traffic density ahead. First, we establish the existence, uniqueness, and maximum principle for solutions of the nonlocal problem under mild assumptions on the kernel and flux function. We then investigate the convergence of the solution to that of the corresponding local conservation law when the nonlocality is shrunk to a local evaluation (i.e., when the kernel tends to a Dirac delta distribution). For kernels of exponential type, we analyze this singular limit for initial data of bounded variation as well as for merely bounded ones, using Ole\u{\i}nik-type estimates. We also demonstrate how the techniques developed in this analysis can be used to study the long-time behavior of a nonlocal regularization of the Burgers equation and to show that the asymptotic profile is given by the
In the second part of this thesis, we address the controllability of scalar conservation laws on networks and its relationship to the vanishing viscosity singular limit. Our main analysis is carried out in the linear case: for a linear advection-diffusion equation, we show that the cost of controllability blows up exponentially as the viscosity parameter vanishes for small times and decays exponentially for a sufficiently long time-horizon. Finally, for nonlinear conservation laws, we prove a controllability result for entropy solutions using a Lyapunov approach and highlight the stability of this result when a small viscosity is added.
Abstract
Der Schwerpunkt dieser Dissertation liegt auf der Untersuchung singulärer Grenzwerte im Kontext von skalaren Erhaltungsgleichungen. Dies sind partielle Differentialgleichungen erster Ordnung, die beschreiben, wie sich die Menge einer physikalischen Größe in einer bestimmten Raumregion im Laufe der Zeit ändert, allein bestimmt durch den Fluss dieser Größe über die Grenze der Region.
Der erste Teil dieses Manuskripts befasst sich mit nichtlokalen Regularisierungen von skalaren Erhaltungsgleichungen, bei denen die Flussfunktion von der Lösung abhängt, indem sie mit einem gegebenen Kernel konvolutiert wird. Diese Modelle werden häufig verwendet, um den Fahrzeugverkehr zu beschreiben, bei dem jedes Auto seine Geschwindigkeit anhand eines gewichteten Durchschnitts der Verkehrsdichte voraus anpasst. Zunächst stellen wir die Existenz, Eindeutigkeit und das Maximumprinzip für Lösungen des nichtlokalen Problems unter milden Annahmen über den Kernel und die Flussfunktion fest. Anschließend untersuchen wir die Konvergenz der Lösung zu der des entsprechenden lokalen Erhaltungsgesetzes, wenn die Nichtlokalität zu einer lokalen Auswertung schrumpft (d.h. wenn der Kern gegen eine Dirac-Delta-Verteilung tendiert). Für Kerne exponentiellen Typs analysieren wir diesen singulären Grenzwert für Anfangsdaten mit beschränkter Variation sowie für lediglich beschränkte Anfangsdaten unter Verwendung von Ole\u{\i}nik-Typ-Schätzungen. Techniken verwendet werden können, um das Langzeitverhalten einer nichtlokalen Regularisierung der Burgers-Gleichung zu untersuchen und nachzuweisen, dass das asymptotische Profil durch die
Im zweiten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Steuerbarkeit skalärer Erhaltungsgleichungen auf Netzwerken und ihrem Zusammenhang mit dem Grenzwert des verschwindenden Viskositätskoeffizienten. Unsere Hauptanalyse wird im linearen Fall durchgeführt: Für eine lineare Advektions-Diffusions-Gleichung zeigen wir, dass die Kosten der Steuerbarkeit exponentiell ansteigen, wenn der Viskositätskoeffizient für kurze Zeiten gegen Null geht, und für einen ausreichend langen Zeitraum exponentiell abfallen. Schließlich beweisen wir für nichtlineare Erhaltungsgleichungen ein Steuerbarkeitsresultat für Entropielösungen unter Verwendung eines Lyapunov-Ansatzes und heben die Stabilität dieses Ergebnisses hervor, wenn eine geringe Viskosität hinzugefügt wird.