The Dynamics of Loop Quantum Gravity in the Cosmological and Semiclassical Sector from the Perspective of Reduced Quantisation and Extended Semiclassical Techniques

Language
en
Document Type
Doctoral Thesis
Issue Date
2023-08-07
Issue Year
2023
Authors
Winnekens, David
Editor
Abstract

The main object of investigation of this thesis was the cosmological and semiclassical realm of loop quantum gravity, which was addressed from two different directions. On the one hand, we analysed a cosmological toy model, and on the other hand a new procedure for conducting the computation of semiclassical expectation values was introduced. With the help of the latter, we revisited possible singularity avoidance in loop quantum gravity — which was so far only either analysed in so-called loop quantum cosmology, was limited to special configurations like cubic graphs, or was only possible by utilising estimations.

The cosmological toy model considered in this thesis, a so-called Gowdy model, features a T^3 symmetry and is of special interest when the cosmological realm of (loop) quantum gravity shall be investigated as it still, despite its simplifications, yields a field theory after quantisation. Loop quantisations of such models relying on Dirac quantisation already exist in the literature. We extend those results by applying a reduced quantisation via coupling Gaussian dust to gravity as a dynamical reference frame. The quantisation is performed for two different frameworks: reduced loop quantum gravity and algebraic quantum gravity, where for both approaches a graph preserving prescription is applied. Analysing a Schrödinger-like equation and finding special solutions thereof then constitute first applications of this model. We find zero volume states and states that experience a vanishing action of the Euclidean part of the physical Hamiltonian. When it comes to the corresponding Lorentzian part, in turn, we analyse degeneracies caused by its action. Overall, these are first steps for gaining an overview over the different aspects of the action of the physical Hamiltonian of such T^3 Gowdy models.

Addressing the question of singularity avoidance in full loop quantum gravity, we introduce a technique relying on Kummer’s confluent hypergeometric functions. It turns out that they feature a lot of very handy properties like an asymptotic expansion for large arguments that allow for an exact calculation of certain semiclassical expectation values by means of a power series in the semiclassicality parameter. These are taken of a specific class of operators that play a pivotal role in the dynamics of the theory and with respect to complexifier coherent states — the state-of-the-art coherent states used in loop quantum gravity. Seminal results of the literature that addressed singularity avoidance are generalised and extended with the help of this new method. Specifically, these improvements are that it is not always necessary to use estimates and that it is in fact possible to also conserve the correct powers of the momentum, e.g. The latter is also exemplified by applying the new procedure to standard quantum mechanics, where expectation values of fractional powers of the momentum operator can be computed analytically, resulting in a power series in hbar. On a more fundamental level, we use the Zak transformation to link coherent states on the circle to those of the harmonic oscillator. This further allows for a more efficient computation of (the zeroth order of) semiclassical matrix elements as we provide a link between semiclassical matrix elements in L_2(R) and L_2(S_1). What is more, also Kummer’s confluent hypergeometric functions offer new insight on the fundamental level: As Kummer’s differential equation can be linked to the heat equation, we can associate Kummer’s confluent hypergeometric functions with solutions to the heat equation.

Abstract

Der Fokus dieser Arbeit lag auf dem kosmologischen und semiklassischen Bereich der Schleifenquantengravitation, welcher von zwei Seiten beleuchtet wurde. Einerseits wurde ein kosmologisches Spielzeugmodell analysiert und andererseits eine neue Methode zur Berechnung semiklassischer Erwartungswerte eingeführt. Mit Hilfe des Letzteren wurde eine mögliche Aufhebung von Singularitäten in der Schleifenquantengravitation untersucht, was zuvor stets unter gewissen Einschränkungen geschah: Sei es, indem man sich im Rahmen der sogenannten Schleifenquantenkosmologie bewegte, indem man sich auf spezielle Konfigurationen wie kubische Graphen beschränken musste oder Abschätzungen verwendet hat.

Das kosmologische Spielzeugmodell, welches wir in dieser Arbeit betrachten – ein sogenanntes Gowdy Modell –, weist eine T^3-Symmetrie auf und ist von besonderem Interesse, wenn man den kosmologischen Bereich der (Schleifen-)Quantengravitation untersuchen möchte. Dies liegt daran, dass es trotz der mit der T^3-Symmetrie einhergehenden Vereinfachungen weiterhin eine Feldtheorie nach der Quantisierung hervorbringt. Schleifenquantisierungen solcher Modelle basierend auf Dirac Quantisierungen existieren bereits in der Literatur. Wir erweitern diese Resultate, indem wir eine reduzierte Quantisierung anwenden, für welche wir Gaußschen Staub an die Gravitation koppeln, den wir sodann als dynamischen Referenzrahmen verwenden. Diese Quantisierung erfolgte auf zweierlei Art: im Rahmen der reduzierten Schleifenquantengravitation sowie im Rahmen der algebraischen Quantengravitation – stets mittels Graph-erhaltender Quantisierungsvorschriften. Die ersten Anwendungen dieses Modells bestanden sodann aus der Analyse einer Schrödinger-ähnlichen Gleichung und der Konstruktion spezieller Lösungen hiervon. Insbesondere fanden wir Zustände ohne Volumen, aber auch solche, die eine verschwindende Wirkung des euklidischen Teils des physikalischen Hamiltonians aufweisen. Bezüglich der Wirkung des lorentzschen Teils wiederum analysierten wir die auftretende Entartung. All dies sind erste Schritte, um einen Überblick über verschiedene Aspekte der Wirkung des physikalischen Hamiltonians eines solchen T^3 Gowdy Modells zu gewinnen.

Um die Vermeidung von Singularitäten in der (vollen) Schleifenquantengravitation zu untersuchen, führten wir eine neue Methode ein, die auf Kummers konfluenten hypergeometrischen Funktionen basiert. Diese besitzen einige äußerst praktische Eigenschaften, wie zum Beispiel ihre asymptotische Entwicklung für große Argumente, dank derer bestimmte semiklassische Erwartungswerte exakt als Potenzreihe im semiklassischen Parameter berechnet werden können. Diese Erwartungswerte wurden bezüglich sogenannter Komplexifizierer-kohärenter Zustände berechnet und von einer speziellen Klasse von Operatoren, welche für die Dynamik der Theorie von zentraler Bedeutung sind. Mit Hilfe dieser neuen Methode konnten wir sodann bereits existierende Ergebnisse erweitern und generalisieren, sodass wir beispielsweise nicht mehr notwendigerweise auf Abschätzungen zurückgreifen mussten und somit prinzipiell auch die anfänglichen Exponenten des Impulses während der Berechnungen beibehalten konnten. Letzteres zeigten wir exemplarisch auch am Beispiel der Quantenmechanik, wo wir Erwartungswerte von gebrochenen Potenzen des Impulsoperators berechneten und als Ergebnis eine Potenzreihe in hbar erhielten. Auf fundamentalerer Ebene benutzten wir die Zak Transformation, um eine Beziehung zwischen kohärenten Zuständen auf dem Kreis und solchen des harmonischen Oszillators aufzuzeigen. Eine Verbindung zwischen semiklassischen Matrixlementen in L_2(R) und L_2(S_1) ermöglicht es insbesondere, semklassische Matrixelemente effizienter berechnen zu können. Darüber hinaus ermöglichen auch Kummers konfluente hypergeometrische Funktionen neue Einblicke auf fundamentaler Ebene: Wir zeigten einen Zusammenhang zwischen Kummers Differentialgleichung und der Wärmeleitungsgleichung, woduch Kummers konfluente hypergeometrische Funktionen als Lösungen der Wärmeleitungsgleichung verstanden werden können.

DOI
Faculties & Collections
Zugehörige ORCIDs