Liquid crystals are materials which are characterized by mesomorphic states between ordinary liquids and solid crystals. Due to their wide range of applications in fields like photonics, optics, materials science, and biophysics, a lot of research on liquid crystals has been initiated in the last decades. In this thesis, we are concerned with two-phase flows of active liquid crystals which have the ability to convert energy from the local environment into mechanical work. This activity mechanism provides possibilities to model biological phenomena like the autonomous movement of cells.

In Chapter 2, we derive a new micro-macro model for two-phase flows of active liquid crystals which consists of Navier-Stokes equations for incompressible fluids which are coupled to a Smoluchowski equation and a phase-field equation. To take into account bending properties and energetic properties of biological structures like cell membranes the underlying energetic structure of the phase-field equation consists of the Willmore energy and a penalty energy for changes of the surface area of the interface. The Smoluchowski equation describes the evolution of a configurational density. Let us emphasize that we consider regimes with a high concentration of polymers; thus, our model takes into account the pairwise interaction of polymers and effects like dissipation due to friction.

Chapter 3 is devoted to the proof of the existence of global weak solutions. We first introduce a fully discrete finite element approximation of our model which is regularized from below and above. After establishing the existence of discrete solutions to the fully discrete scheme we pass to the limit as the spatial discretization parameter and the regularization parameter from below go to zero. This yields the existence of solutions to a discrete-in-time continuous-in-space approximation of our model. Thanks to further regularity results for the macroscopic polymer number density we are able to improve the regularity of the microscopic number density. After establishing time regularity results we pass to the limit in the discrete-in-time continuous-in-space approximation as the temporal discretization parameter goes to zero and the regularization parameter from above goes to infinity to prove that the limit functions are solutions to an unregularized weak formulation of our model in two and three space dimensions.

Chapter 4 is dedicated to numerical simulations of our fully discrete finite element scheme and its implementation in the in-house framework EconDrop of the group of Prof. Dr. Günther Grün. After comparing different approaches to solve the ill-conditioned phase-field equation of sixth order we provide simulations of self-driven active liquid crystalline droplets to present the full practicability of our scheme.

Flüssigkristalle sind Materialien, die durch mesomorphe Zustände zwischen gewöhnlichen Flüssigkeiten und festen Kristallen charakterisiert sind. Wegen ihrer großen Vielfalt an Anwendungen in Gebieten wie der Photonik, der Optik, den Materialwissenschaften und der Biophysik waren sie Schwerpunkt vieler wissenschaftlicher Arbeiten in den letzten Jahrzehnten. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit Zweiphasenströmungen aktiver Flüssigkristalle, die die Fähigkeit besitzen, Energie aus der lokalen Umgebung in mechanische Arbeit umzuwandeln. Dieser Aktivitätsmechanismus bietet Möglichkeiten, biologische Phänomene wie autonome Fortbewegung von Zellen zu modellieren.

In Kapitel 2 leiten wir ein neues Mikro-Makro Modell für Zweiphasenströmungen aktiver Flüssigkristalle her, in dem Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide mit einer Phasenfeldgleichung und einer Smoluchowski-Gleichung gekoppelt werden. Die Phasenfeldgleichung beruht auf der Willmore-Energie und einer Bestrafungsenergie für Änderungen des Maßes der Oberfläche der Grenzschicht, wodurch die energetischen Eigenschaften und das Biegeverhalten von biologischen Strukturen wie Zellmembranen berücksichtigt werden. Die Smoluchowski-Gleichung beschreibt die Evolution einer Konfigurationsdichte. Hierbei möchten wir betonen, dass wir Systeme mit einer hohen Konzentration von Polymeren betrachten und wir deshalb auch die paarweise Interaktion von Polymeren und Effekte wie Dissipation durch Reibung in unserem Modell berücksichtigen.

Kapitel 3 ist dem Existenzbeweis von globalen schwachen Lösungen unseres Modells gewidmet. Zuerst stellen wir eine volldiskrete regularisierte Finite-Elemente-Approximation unseres Modells vor, die Regularisierungsparameter von unten und oben enthält. Nachdem wir die Existenz von Lösungen zu unserem volldiskreten Schema gezeigt haben, gehen wir mir dem Diskretisierungsparameter im Ort und dem Regularisierungsparameter von unten zur Grenze. Dadurch wird die Existenz von Lösungen zu einer Approximation unseres Modells sichergestellt, die diskret in der Zeit und kontinuierlich im Ort ist. Mit Hilfe von Regularitätseigenschaften der makroskopischen Anzahldichte der Polymere erhalten wir verbesserte Regularität für die mikroskopische Anzahldichte. Nachdem wir Zeitregularitätsaussagen hergeleitet haben, gehen wir in der semidiskreten Approximation mit der Zeitschrittweite und dem Regularisierungsparameter von oben zur Grenze, um zu zeigen, dass die Grenzfunktionen Lösungen zu einer unregularisierten schwachen Formulierung unseres Modells in zwei und drei Raumdimensionen sind.

Kapitel 4 beschäftigt sich mit numerischen Simulationen unseres volldiskreten Finite-Elemente-Schemas und dessen Implementierung im Programmpaket EconDrop der Arbeitsgruppe von Prof. Dr. Günther Grün. Zunächst vergleichen wir unterschiedliche Ansätze zur Lösung der Phasenfeldgleichung sechster Ordnung, insbesondere im Hinblick auf deren schlechte Konditionierung. Abschließend illustrieren wir die Anwendbarkeit unseres Schemas anhand von Simulationen sich selbstantreibender Tropfen, die mit aktiven Flüssigkristallen gefüllt sind.