Baryons and baryonic matter in four-fermion interaction models
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In this work we discuss baryons and baryonic matter in simple four-fermion interaction theories, the Gross-Neveu model and the Nambu-Jona-Lasinio model in 1+1 and 2+1 space-time dimensions. These models are designed as toy models for dynamical symmetry breaking in strong interaction physics. Pointlike interactions (four-fermion interactions) between quarks replace the full gluon mediated interaction of quantum chromodynamics. We consider the limit of a large number of fermion flavors, where a mean field approach becomes exact. This method is formulated in the language of relativistic many particle theory and is equivalent to the Hartree-Fock approximation. In 1+1 dimensions, we generalize known results on the ground state to the case where chiral symmetry is broken explicitly by a bare mass term. For the Gross-Neveu model, we derive an exact self-consistent solution for the finite density ground state, consisting of a one-dimensional array of equally spaced potential wells, a baryon crystal. For the Nambu-Jona-Lasinio model we apply the derivative expansion technique to calculate the total energy in powers of derivatives of the mean field. In a picture akin to the Skyrme model of nuclear physics, the baryon emerges as a topological soliton. The solution for both the single baryon and dense baryonic matter is given in a systematic expansion in powers of the pion mass. The solution of the Hartree-Fock problem is more complicated in 2+1 dimensions. In the massless Gross-Neveu model we derive an exact self-consistent solution by extending the baryon crystal of the 1+1 dimensional model, maintaining translational invariance in one spatial direction. This one-dimensional configuration is energetically degenerate to the translationally invariant solution, a hint in favor of a possible translational symmetry breakdown by more general geometrical structures. In the Nambu-Jona-Lasinio model, topological soliton configurations induce a finite baryon number. In contrast to the 1+1 dimensional model we do not find a massless baryon, but a state with zero binding energy.
Abstract
In dieser Arbeit werden Baryonen und baryonische Materie in einfachen Theorien mit Vier-Fermion-Wechselwirkung behandelt, dem Gross-Neveu Modell und dem Nambu-Jona-Lasinio Modell in 1+1 und 2+1 Raumzeitdimensionen. Diese Modelle sind als Spielzeugmodelle für dynamische Symmetriebrechung in der Physik der starken Wechselwirkung konzipiert. Die volle, durch Gluonaustausch vermittelte Wechselwirkung der Quantenchromodynamik wird dabei durch eine punktartige (Vier-Fermion) Wechselwirkung ersetzt. Die Theorie wird im Limes einer großen Zahl an Fermionflavors betrachtet. Hier ist die mittlere Feldnäherung exakt, die äquivalent zu der aus der relativistischen Vielteilchentheorie bekannten Hartree-Fock Näherung ist. In 1+1 Dimensionen werden bekannte Resultate für den Grundzustand auf Modelle erweitert, in denen die chirale Symmetrie durch einen Massenterm explizit gebrochen ist. Für das Gross-Neveu Modell ergibt sich eine exakte selbstkonsistente Lösung für den Grundzustand bei endlicher Dichte, der aus einer eindimensionalen Kette von Potentialmulden besteht, dem Baryonenkristall. Für das Nambu-Jona-Lasinio Modell führt die Gradientenentwicklung auf eine Näherung für die Gesamtenergie in Potenzen des mittleren Feldes. Das Baryon ergibt sich als ein topologisches Soliton, ähnlich wie im Skyrme Modell der Kernphysik. Die Lösung für das einzelne Baryon und baryonische Materie kann in einer systematischen Entwicklung in Potenzen der Pionmasse angegeben werden. In 2+1 Dimensionen ist die Lösung der Hartree-Fock Gleichungen schwieriger. Im masselosen Gross-Neveu Modell kann eine exakt selbst-konsistente Lösung hergeleitet werden, die den Baryonenkristall des 1+1 dimensionalen Modells so erweitert, dass die Translationssymmetrie in einer Raumrichtung beibehalten wird. Diese eindimensionale Feldkonfiguration ist zur translationssymmetrischen Lösung energetisch entartet, was als Hinweis auf die Möglichkeit der Brechung der Translationssymmetrie durch allgemeinere geometrische Strukturen gewertet werden kann. Im Nambu-Jona-Lasinio Modell indudziert ein topologisches Soliton eine endliche Baryonzahl. Im Gegensatz zum 1+1 dimensionalen Modell ist das einzelne Baryon aber nicht masselos, sondern ein Zustand mit verschwindender Bindungsenergie.