Nonparametric estimation of risk measures of collective risks

Abstract

This thesis is devoted to the nonparametric estimatiohttps://publikationen.sulb.uni-saarland.de/n of risk measures against the background of the determination of insurance premiums. We will discuss two approaches in this context. In the first part we will assume the ratio between the collective size and the observation size to be asymptotically constant, whereas in the second part we will assume the collective size to be constant and the observations size to tend to infinity. The goal of this thesis is to determine strong rates and asymptotic distributions of the deviation of the estimated premiums from the true ones. Furthermore we will discuss bootstrap methods and their applicability to the premium estimation. Our particular attention will be paid to prove consistency, as well as almost sure bootstrap consistency for the sequence of estimated premiums. To this end, we will highlight several options how to choose suitable estimators in the individual model, as well as the collective model of insurance mathematics. The performance of these estimators will then be assessed with the help of a numerical simulation.

Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit der nichtparametrischen Schätzung von Risikomaßen vor dem Hintergrund der Bestimmung von Versicherungsprämien. Hierbei werden zwei Ansätze näher beleuchtet. Im ersten Teil wird angenommen, dass das Verhältnis der Beobachtungsgröße zur Kollektivgröße asymptotisch konstant ist, während im zweiten Teil der Arbeit die Kollektivgröße als konstant angenommen wird und die Beobachtungsgröße wächst. Das Ziel dieser Arbeit besteht darin starke Raten und asymptotische Verteilungen der Abweichungen der geschätzten Prämie von der tatsächlichen herzuleiten. Des Weiteren beschäftigen wir uns mit Bootstrap-Methoden und deren Anwendbarkeit auf die Prämienschätzung. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei darauf Konsistenz, sowie fast sichere Bootstrap- Konsistenz für die Folge der geschätzten Prämien zu zeigen. Wir werden hierzu in den beiden gängigen Modellen der Versicherungsmathematik, dem individuellen und dem kollektiven Modell, Möglichkeiten zur Wahl nichtparametrischer Schätzer angeben und deren Performanz anschließend anhand numerischer Simulationen überprüfen.