State-sum construction of two-dimensional functorial field theories

Abstract

In this thesis we study two classes of 2-dimensional functorial field theories and give a state-sum construction of these theories. In the first part of this thesis we look at topological field theories on r-spin surfaces. We define a combinatorial model of r-spin surfaces, which is suitable for for the state-sum construction. The latter takes a Frobenius algebra A, whose window element is invertible and whose Nakayama automorphism N satisfies N^r = id, as an input and produces an r-spin topological field theory Z_A . For r even we give an example of such a state-sum topological field theory with values in super vector spaces, where A = Cl is the Clifford algebra with one odd generator and we show that Z_Cl computes the Arf invariant of r-spin surfaces. As an application of the combinatorial model and this r-spin topological field theory we compute mapping class group orbits of r-spin structures extending results of Randal-Williams and Geiges, Gonzalo. In the second part of the thesis we consider area-dependent quantum field theories. An important feature of these theories that, contrary to topological field theories, they allow for infinite-dimensional state-spaces. We classify these theories in terms of regularised Frobenius algebras and give a state-sum construction of them, for which the input data is now a strongly separable regularised Frobenius algebra. We then extend the state-sum construction to include defect lines, which we label with bimodules over strongly separable regularised Frobenius algebras. We show that the fusion of defect lines corresponds to the tensor product of bimodules over regularised algebras. The main example of area-dependent quantum field theories is 2-dimensional Yang-Mills theory with a compact semisimple Lie group G with Wilson lines as defects, which we treat in great detail. We finally introduce other defect lines by twisting by outer automorphisms of G.

In dieser Doktorarbeit werden zwei Klassen von zweidimensionalen funktoriellen Quantenfeldtheorien untersucht und entsprechende Zustandssummenkonstruktionen werden gegeben. Im ersten Teil der Doktorarbeit werden topologische Feldtheorien auf r-Spin-Oberflächen betrachtet. Ein kombinatorisches Modell von r-Spin-Oberflächen wird definiert, die für die Zustandssummenkonstruktion geeignet ist. Diese Konstruktion nimmt eine Frobenius-Algebra A mit folgenden Eigenschaften als Input. Für den Nakayama-Automorphismus N von A gilt N^r = id und das Fensterelement von A ist invertierbar. Die Konstruktion produziert eine r-Spin topologische Feldtheorie Z_A . Wenn r eine gerade Zahl ist, wird ein Beispiel von einer solchen Zustandssummenfeldtheorie mit Werten in Supervektorräumen gegeben. Die Frobenius-Algebra A = Cl ist die Clifford-Algebra mit einem ungeraden Erzeuger. Es wird gezeigt, dass Z_Cl die Arf-Invariante von r-Spin Oberflächen berechnet. Als Anwendung des kombinatorischen Modells und dieser r-Spin topologischen Feldtheorie werden Abbildungsklassenbahnen von r-Spin-Strukturen berechnet. Diese erweitern Resultaten von Randal-Williams und Geiges, Gonzalo. Im zweiten Teil der Doktorarbeit werden flächenabhängige Quantenfeldtheorien betrachtet. Eine wichtige Eigenschaft dieser Theorien ist, im Gegensatz zu topologischen Feldtheorien, dass deren Zustandräume unendlich dimensional sein dürfen. Diese Theorien werden durch regularisierte Frobenius-Algebren klassifiziert und eine Zustandssummenkonstruktion wird gegeben. Hier ist das Inputdatum eine stark separable regularisierte Frobenius-Algebra. Die Konstruktion wird dann um Defektlinien erweitert, die mit Bimoduln über stark separablen regularisierten Frobenius-Algebren bezeichnet sind. Es wird gezeigt, dass das Fusionprodukt von Defektlinien dem Tensorprodukt von Bimoduln über regularisierten Algebren entspricht. Das Hauptbeispiel flächenabhängiger Quantenfeldtheorien ist die zweidimensionale Yang-Mills Theorie mit einer kompakten halbeinfachen Lie-Gruppe G und mit Wilson-Linien als Defekten. Dieses Beispiel wird ausführlich betrachtet,und schließlich werden durch äußeren Automorphismen von G getwistete Defektlininen eingeführt und untersucht.