Algebraic Structures for Bundle Gerbes and the Wess-Zumino Term in Conformal Field Theory

Abstract

Surface holonomy of connections on abelian gerbes has essentially improved the geometric description of Wess-Zumino-Witten models. The theory of these connections also provides a possibility to discuss Wess-Zumino-Witten models for generalized classes of surfaces: surfaces with defect lines and unoriented surfaces.

In this thesis we have introduced and studied additional structures for abelian bundle gerbes with connections in order to deal with these generalized classes of surfaces. Their study is based on a description of the structure theory of bundle gerbes in terms of 2-categories that we have developed in this thesis.

In the situation of surfaces with defect lines - here, these are embedded circles - the surface is devided into several regions, each of which can be assigned to individual gerbes over individual spaces. In this thesis we have introduced bundle gerbe bimodules and bi-branes and have shown that they combine the holonomies of the different gerbes to a well-defined quantity. We have thus achieved a geometric description of Wess-Zumino-Witten models with topological defect lines. An interesting observation of this thesis is that the fusion of defect lines leads - in their description by bi-branes we have introduced - to a new geometric realization of the moduli space of flat connections on a sphere with three marked points.

In order to define holonomies for unoriented surfaces, we have introduced Jandl structures as additional structure on a bundle gerbe with connection. We have shown that this holonomy can be used to define the Wess-Zumino term for unoriented surfaces. We have thus obtained a geometric description of unoriented Wess-Zumino-Witten models.

Not every bundle gerbe admits Jandl structures, and if it does, there may be inequivalent choices. In this thesis we have introduced a cohomology theory, which captures obstruction classes as well as classifying groups for inequivalent choices of Jandl structures. An important result of this thesis is the computation of all obstruction classes and classifying groups for Jandl structures in Wess-Zumino-Witten models over arbitrary compact simple Lie groups. We thus have achieved a complete classification of unoriented Wess-Zumino-Witten models over these Lie groups.

Die geometrische Beschreibung von Wess-Zumino-Witten Modellen wird durch die Verwendung der Holonomie von Zusammenhängen auf abelschen Gerben wesentlich verbessert. Auch bietet die Theorie solcher Zusammenhänge die Möglichkeit, Wess-Zumino-Witten Modelle für verallgemeinerte Typen von Weltflächen geometrisch zu diskutieren: zum Beispiel orientierte Flächen mit Defektlinien und nicht-orientierte Flächen.

In dieser Arbeit haben wir an diese Situationen angepasste Zusatzstrukturen für Gerben mit Zusammenhang eingeführt, untersucht und auf Wess-Zumino-Witten Modelle angewendet. Grundlegend dafür haben wir die mathematische Struktur von Gerben mit Zusammenhängen im Rahmen der Theorie von 2-Kategorien dargestellt und weiterentwickelt.

In der Situation von Weltflächen mit Defektlinien - hier sind das eingebettete Kreise - wird die Fläche in verschiedene Gebiete zerlegt; diesen Gebieten können dann im Allgemeinen unterschiedliche Gerben über unterschiedlichen Räumen zugeordnet werden. Wir haben in dieser Arbeit Gerbenbimoduln und Bi-branes eingeführt und gezeigt, dass sie die einzelnen Holonomien dieser Gerben über die jeweiligen Gebiete zu einer wohldefinierten Größe verbinden. So haben wir eine geometrische Beschreibung von Wess-Zumino-Witten Modellen mit Defektlinien ermöglicht. Eine interessante Beobachtung dieser Arbeit ist, dass die Fusion von Defektlinien in der von uns vorgeschlagenen Beschreibung durch Bi-branes zu einer neuen Realisierung des Modulraumes flacher Zusammenhänge auf einer drei-punktierten Sphäre führt.

Um Holonomie für nicht orientierbare Flächen zu definieren, haben wir Jandl-Strukturen als Zusatzstruktur für Gerben mit Zusammenhang eingeführt. Wir zeigen, dass sich diese Holonomie zur Definition des Wess-Zumino Terms für nicht-orientierte Weltflächen eignet. Damit haben wir eine geometrische Beschreibung nicht-orientierter Wess-Zumino-Witten Modelle erhalten.

Nicht jede Gerbe erlaubt Jandl-Strukturen, und falls doch, kann es nicht-äquivalente Wahlen geben. Wir haben in dieser Arbeit eine Kohomologietheorie entwickelt, in der entsprechende Obstruktionsklassen leben und deren Kohomologiegruppen nicht-äquivalente Wahlen parameterisieren. Ein wichtiges Resultat dieser Arbeit ist die Berechnung aller Obstruktionsklassen und Kohomologiegruppen für Jandl-Strukturen in Wess-Zumino-Witten Modellen auf beliebigen kompakten, einfachen Liegruppen. Wir haben damit alle nicht-orientierten Wess-Zumino-Witten Modelle auf diesen Liegruppen vollständig klassifiziert.