Pullback theory for functions of lattice-index and applications to Jacobi and modular forms

Dieckmann, Till; Heim, Bernhard; Krieg, Aloys

doi:urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2015-032847

Pullback theory for functions of lattice-index and applications to Jacobi and modular forms = Pullback-Theorie für Funktionen von gitterwertigem Index und Anwendungen auf Jacobi- und Modulformen

Dieckmann, Till

2015

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Till Dieckmann

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2015

UmfangIV, 156 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Krieg, Aloys (Thesis advisor) ; Heim, Bernhard (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2015-06-01

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2015-032847
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/479780/files/479780.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/479780/files/479780.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; lattice (frei) ; embedding (frei) ; elliptic function (frei) ; theta series (frei) ; pullback (frei) ; jacobi form (frei) ; modular form (frei) ; paramodular group (frei) ; modular group (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Dissertation untersuchen wir holomorphe Funktionen, welche eine gewisse Invarianzeigenschaft elliptischen Typs bezüglich eines Gitters $\underline{L}$ besitzen. Das Hauptaugenmerk liegt auf dem Studium von strukturerhaltenden Abbildungen zwischen diesen Klassen von Funktionen, welche durch Einbettungen von Gittern bewirkt werden, so genannte Pullback-Operatoren. Kapitel eins dient der Bereitstellung von Standardkonzepten und Begrifflichkeiten der Gittertheorie. Die Theorie der Einbettungen von Gittern wird entwickelt. Als Beispiel konstruieren wir einige irreduzible Wurzelgitter, genauer $\underline{E_8},\underline{E_7}, \underline{E_6}, \underline{D_4}, \underline{A_2}$ und $\underline{A_1}$ in einer Realisierung welche für spätere Zwecke nützlich sein wird. In Kapitel zwei führen wir elliptische Funktionen von gitterwertigem Index ein. Um für diese Klasse einen Begriff der Beschränktheit bereitzustellen, führen wir Regularitäts- und Spitzenbedingungen ein. Die metaplektische Gruppe spiegelt die modulare Operation auf dem Raum $\mathcal E^{(n)}(\underline{L})$ der invarianten Funktionen von Grad n und Index $\underline{L}$ wieder. Diese Operation induziert eine gewisse Darstellung, die sogenannte Weil-Darstellung, auf dem Raum von Jacobi Thetafunktionen welche zum Gitter $\underline{L}$ assoziiert sind. Wir schließen das Kapitel mit der Berechnung einiger Determinantencharaktere von Weil-Darstellungen von Grad 1 bezüglich einiger Gitter kleineren Ranges. Eine detaillierte Analyse von Pullback-Operatoren zwischen elliptischen Funktionen von gitterwertigem Index ist Gegenstand von Kapitel drei. Diese Abbildungen erhalten die Regularitäts- und Spitzenbedingungen. Es stellt sich in natürlicher Weise die Frage, in welchen Fällen der Pullback-Operator ein Isomorphismus sein kann. Hierzu nehmen wir einen algebraischen Standpunkt ein und betrachten den Pullback-Operator als Homomorphismus freier Moduln. Wir wenden Methoden der linearen Algebra an und betrachten seine Abbildungsmatrix, den sogenannten automorphen Transfer, und seine Determinante, vorausgesetzt diese existiert. Letztere stellt sich als Siegelsche Modulform heraus. Wir erhalten ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Existenz solcher Isomorphismen. Überraschenderweise treten diese ausschließlich im Fall $n=1$ auf. Als Nebenprodukt der entwickelten Theorie folgern wir die Existenz einer unendlichen Familie nichttrivialer Siegelscher Spitzenformen, welche einer bemerkenswerten Rekursionsidentität genügt. Schließlich berechnen wir noch den automorphen Transfer und seine Determinante explizit im Fall $n=1$ für einige Gitter kleineren Ranges. In Kapitel vier nutzen wir diese Ergebnisse um explizite Isomorphismen von Räumen von Jacobi-Formen zu konstruieren, deren Existenz schon teilweise bekannt war. Hier stellen wir eine Methode bereit, um Jacobi-Formen von niederrangigem Index zu höherrangigem Index mittels Matrix-Vektormultiplikation bezüglich des zugrundeliegenden Raumes von vektorwertigen Modulformen zu liften. Von Kapitel fünf an richten wir unsere Aufmerksamkeit auf Modulformen und diskutieren ein auf G. Köhler zurückgehendes Problem bezüglich Einbettungen paramodularer Gruppen in Modulgruppen über Ordnungen. Wir erweitern seine Methoden auf nichtkommutative Ordnungen und entwickeln einen Äquivalenzbegriff um substantiell verschiedene Einbettungen zu trennen. Wir bestimmen die Operation der maximal-diskreten Erweiterung der paramodularen Gruppe auf der Menge der modularen Einbettungen. Am Ende entwickeln wir noch eine Pullback-Theorie, welche Modulformen in Paramodulformen überführt und die kompatibel mit der Äquivalenzrelation ist. Das sechste und letzte Kapitel wird von der Frage geleitet, in welchem Grad eine modulare Einbettung durch die Familie ihrer induzierten Paramodulformen bestimmt ist. Schon im Fall $n=2$ ist die Äquivalenzrelation zu restriktiv. Um dies zu berücksichtigen entwickeln wir einen Äquivalenzbegriff im erweiterten Sinne. Wir behandeln die Ausgangsfragestellung auf der Grundlage von hermiteschen und quaternionischen Jacobi-Formen und können das Problem zumindest für einige Ordnungen und unter geeigneten Annahmen an die Polarisierung lösen.

In this thesis we examine holomorphic functions that satisfy a certain invariance property of elliptic type with respect to a lattice $\underline{L}$. The main focus is laid on the study of structure-preserving maps arising from embeddings of lattices, called pullback operators. Chapter one serves to introduce the basic concepts and terms in the theory of lattices. The theory for embeddings of lattices is developed. As an example, some irreducible root lattices, namely $\underline{E_8},\underline{E_7}, \underline{E_6}, \underline{D_4}, \underline{A_2}$ and $\underline{A_1}$, are constructed in realization that will be utilized later. In chapter two we introduce elliptic functions of lattice-index. In order to have a notion of boundedness for this class of functions, we introduce conditions of regularity and cuspidality. The metaplectic group reflects the modular action on the space $\mathcal E^{(n)}(\underline{L})$ of elliptic functions of degree n and index $\underline{L}$. This action induces a certain representation, called the Weil representation, on the space of Jacobi theta functions associated to the lattice $\underline{L}$. We end the chapter by calculating certain determinant characters of Weil representations of degree 1 associated to some distinguished lattices of low rank. The detailed analysis of pullback operators between elliptic functions of lattice-index is dealt within chapter three. These maps preserve regularity and cuspidality. The question that arises naturally in this context is in what cases the pullback operator turns out to be an isomorphism. To this end, we take an algebraic point of view and consider the pullback operator as a homomorphism of free modules. We apply methods of linear algebra and consider its representation matrix, called automorphic transfer, and its determinant, provided existence. The latter will turn out as a Siegel modular form. We obtain a sufficient and necessary criterion for the existence of such isomorphisms. Suprisingly, those can occur in the case $n=1$ only. As a by-product of the theory developed, we derive the existence of an infinite family of non-trivial Siegel cusp forms satisfying a remarkable recurrence identity. Finally, we calculate the automorphic transfer and its determinant in the case $n=1$ explicitly for certain lattices of low rank. In chapter four we utilize these results in order to construct explicit isomorphisms of spaces of Jacobi forms, whose existence was partly known before. Here we provide a method to lift Jacobi forms of lower rank index to higher rank index by using matrix-vector multiplication with respect to the underlying space of vector valued modular forms. From chapter five on we draw attention to modular forms and discuss a problem initiated by G. Köhler concerning embeddings of paramodular groups into modular groups over orders. We extend his methods to noncommutative orders and develop a notion of equivalence to separate substantially different embeddings. We determine the action of the maximal discrete extension of the paramodular group on the set of modular embeddings. At the end we develop a pullback theory that turns modular into paramodular forms and which is compatible with the equivalence relation. The sixth and final chapter is conducted by the question to what extent the modular embedding is determined by the family of paramodular forms induced by it. Already in the case $n=2$ the equivalence relation is too restrictive. In order to handle this, we develop a notion of equivalence in the extended sense. By approaching the initial question on the basis of hermitian and quaternionic Jacobi forms we can solve the problem at least for certain orders and under suitable assumptions on the polarization.

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