Rational forms of finite matrix groups

Jongen, Jan; Plesken, Wilhelm

doi:4214

Rational forms of finite matrix groups = Rationale Formen endlicher Matrixgruppen

Jongen, Jan (Author)

2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Jan Jongen

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

UmfangVIII, 97 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-07-17

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-42140
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/82849/files/4214.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Matrizengruppe (Genormte SW) ; Invariantentheorie (Genormte SW) ; Galois-Kohomologie (Genormte SW) ; Gitter (Genormte SW) ; Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Representation theory (frei) ; matrix groups (frei) ; Galois cohomology (frei) ; invariant theory (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Sei k ein perfekter Körper, K/k eine endliche {sc Galois} Erweiterung mit {sc Galois} Gruppe Gamma und G eine endliche Untergruppe von GL_n(overline{k}). Als endliche Untergruppe der algebraischen Gruppe GL_n(overline{k}), ist auch G eine algebraische Gruppe. Es zeigt sich, dass der Invariantenring von G genau dann Erzeuger mit rationalen Koeffizienten besitzt, wenn G über k definiert ist. Die Arbeit konzentriert sich nun auf die folgenden drei fundamentalen Fragen: 1) Falls G nicht über k definiert ist, ist es möglich G in eine über k definiert Gruppe G' zu transformieren? Eine solche Gruppe G' wird eine k-Form von G genannt. Falls G' zusätzlich eine Untergruppe von GL_n(K) ist, so heisst G' eine (K/k)-Form von G (Existenz). 2) Wie viele nicht äquivalente, das heisst über GL_n(k) nicht konjugierte, (K/k)-formen von G gibt es? (Klassifikation). 3) Welche arithmetischen Eigenschaften besitzt eine über k-definierte endliche Matrixgruppe G? (Arithmetik). Die Klassifikation der (K/k)-Formen von G ist im Wesentlichen durch die bis auf Konjugation in Aut(G) verschiedenen Einbettungen Gamma o Aut(G) beantwortet. Hinzu kommen einige technische Voraussetzungen an die Gamma-Operation auf G. Mithilfe der {sc Brauer-Clifford} Theorie werden für die Existenz einer (K/k)-Form von G hinreichende und notwendige Bedingungen an den Körper K hergeleitet. Diese sind ausreichend, um die Existenzfrage für endliche Körper und die reellen Zahlen vollständig zu entscheiden. Die arithmetische Theorie der (K/k)-Formen von G basiert auf einer Korrespondenz zwischen ebensolchen Formen und Moduln über speziellen getwisteten Gruppenringen K* (G times Gamma). Die Begriffe des (komplexen) Charakters und des {sc Schur} Index werden auf getwistete Gruppenringe verallgemeinert. Desweiteren werden Induktion und Restriktion für komplexe K*(G times Gamma)-Charaktere entwickelt. Falls der Körper K eine kanonische komplexe Konjugation besitzt, so existiert eine kanonische Involution auf K*(G times Gamma).

Let k be a perfect field, K/k a finite {sc Galois} extension with {sc Galois} group Gamma and G a finite subgroup of GL_n(overline{k}). Viewing GL_n(overline{k}) as an algebraic group turns G into an algebraic group. A first result of this thesis is that G has fundamental invariants whose coefficients lie in k if and only if G is defined over k. Three guiding questions arise naturally. 1) If the finite matrix group G is not defined over k, can we transform G into a finite matrix group G' which is defined over k? Reasonably, such a G' will be called a k-form of G, and if additionally G' is a subgroup of GL_n(K), a (K/k)-form respectively (Existence). 2) If G is defined over k and a subgroup of GL_n(K), how many non equivalent, i.e. not conjugate by an element of GL_n(k), (K/k)-forms of G are there? (Classification). 3) If G is defined over k, what are the arithmetic features of G beside the fact that there exists a set of fundamental invariants whose coefficients lie in k? (Arithmetic). It is shown that the classification of K/k-forms can be answered by counting the embeddings Gamma o Aut(G) up to conjugation inside Aut(G) and some restrictions on the induced Gamma-action. Using {sc Brauer-Clifford} theory necessary and sufficient conditions on the field K to admit a (K/k)-form of G are deduced and those conditions are good enough to answer the case of k being a finite field or the real numbers completely. Turning to the arithmetic theory of (K/Q)-forms, a correspondence between (K/Q)-forms of G and modules over some special skew group rings K*(G times Gamma) is proved. Introducing complex characters of K*(Gtimes Gamma), an explicit correspondence between those and the irreducible complex characters of G is obtained. The {sc Schur} index is defined and character induction and restriction are developed. If K admits a central canonical conjugation, we define a canonical involution on K*(G times Gamma) and show that this involution is the anti adjoint automorphism of a symmetric positive definite bilinear form.

Fulltext:
PDF