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Fabian Gnegel

• One of the standard approaches for solving discrete optimization problems which include the aspect of time, such as the traveling salesman problem with time windows, is to derive a so-called time-indexed formulation. If the problem has an underlying structure that can be described by a graph, the time-indexed formulation is usually based on a different, extended graph, commonly referred to as the time-expanded graph. The time-expanded graph can often be derived in such a way that all time constraints are incorporated in its topology, and therefore algorithms for the corresponding time-independent variant become applicable. The downside of this approach is that the sets of vertices and arcs of the time-expanded graph are much larger than the ones of the original graph. In recent works, however, it has been shown that for many practical applications a partial graph expansion that might contain time-infeasible paths, often suffices to find a proven optimal solution. These approaches, instead, iteratively refine the original graph andOne of the standard approaches for solving discrete optimization problems which include the aspect of time, such as the traveling salesman problem with time windows, is to derive a so-called time-indexed formulation. If the problem has an underlying structure that can be described by a graph, the time-indexed formulation is usually based on a different, extended graph, commonly referred to as the time-expanded graph. The time-expanded graph can often be derived in such a way that all time constraints are incorporated in its topology, and therefore algorithms for the corresponding time-independent variant become applicable. The downside of this approach is that the sets of vertices and arcs of the time-expanded graph are much larger than the ones of the original graph. In recent works, however, it has been shown that for many practical applications a partial graph expansion that might contain time-infeasible paths, often suffices to find a proven optimal solution. These approaches, instead, iteratively refine the original graph and solve a relaxation of the time-expanded formulation in each iteration. When the solution of the current relaxation allows for a feasible schedule, an optimal solution can be derived from it and the algorithm terminates. In this work, we first present new ideas that allow for the propagation of information about the optimal solution of a coarser graph to a more refined graph and show how these can be used in algorithms. More precisely, we present two general algorithms for solving Mixed Integer Linear Program formulations which we call iterative refinement and branch-and-refine. Iterative refinement basically is solving relaxations of the problem until a feasible solution to the original problem is found. Branch-and-refine is a kind of branch-and-bound algorithm that allows for the graph refinement to be carried out during the exploration of the branch-and-bound tree. For demonstrating the practical relevance of these algorithms, we not only study them in the context of academic examples but also apply them to two real-world problems. The first is a problem from the literature, where small passenger air-crafts have to be routed and scheduled to serve flight requests while fulfilling a variety of conditions on, for example, fuel consumption, weight, and detours. We show here that refinement algorithms can be used to improve the best known results from the literature. The second problem we consider is the task of optimally scheduling deliveries and charging times of delivery robots such that delays are minimized. In this case, we show that refinement algorithms perform better than a direct solution approach making use of state-of-the-art solvers.…
• Das Herleiten einer so genannten zeitindizierten Formulierung ist einer der Standardansätze zum Lösen diskreter Optimierungsprobleme, die den Aspekt der Zeit einbeziehen, wie z. B. das Problem des Handlungsreisenden mit Zeitfenstern. Liegt dem Problem eine Struktur zugrunde, die durch einen Graphen beschrieben werden kann, so basiert die zeitindizierte Formulierung in der Regel auf einem anderen, erweiterten Graphen, der gemeinhin als zeitexpandierter Graph bezeichnet wird. Der zeitexpandierte Graph kann oft so konstruiert werden, dass alle zeitlichen Beschränkungen bereits in seine Topologie einfließen und Algorithmen für die entsprechende zeitunabhängige Variante anwendbar werden. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass die Mengen der Knoten und Bögen des zeitexpandierten Graphen viel größer sind als die des ursprünglichen Graphen. In neueren Arbeiten wurde jedoch gezeigt, dass für viele praktische Anwendungen eine partielle Expansion des Graphen, die möglicherweise nicht alle zeitlich unzulässigen Pfade verbietet, oft ausreicht, umDas Herleiten einer so genannten zeitindizierten Formulierung ist einer der Standardansätze zum Lösen diskreter Optimierungsprobleme, die den Aspekt der Zeit einbeziehen, wie z. B. das Problem des Handlungsreisenden mit Zeitfenstern. Liegt dem Problem eine Struktur zugrunde, die durch einen Graphen beschrieben werden kann, so basiert die zeitindizierte Formulierung in der Regel auf einem anderen, erweiterten Graphen, der gemeinhin als zeitexpandierter Graph bezeichnet wird. Der zeitexpandierte Graph kann oft so konstruiert werden, dass alle zeitlichen Beschränkungen bereits in seine Topologie einfließen und Algorithmen für die entsprechende zeitunabhängige Variante anwendbar werden. Der Nachteil dieses Ansatzes ist, dass die Mengen der Knoten und Bögen des zeitexpandierten Graphen viel größer sind als die des ursprünglichen Graphen. In neueren Arbeiten wurde jedoch gezeigt, dass für viele praktische Anwendungen eine partielle Expansion des Graphen, die möglicherweise nicht alle zeitlich unzulässigen Pfade verbietet, oft ausreicht, um eine nachweislich optimale Lösung zu finden. Bei diesem Ansatz wird stattdessen der zeitexpandierte Graph iterativ sukzessive aufgebaut und verfeinert und in jedem Schritt wird eine Relaxierung der zeitexpandierten Formulierung gelöst. Wenn die Lösung der aktuellen Relaxierung einen realisierbaren Zeitplan zulässt, kann daraus eine optimale Lösung abgeleitet werden und der Algorithmus wird beendet. In dieser Arbeit stellen wir zunächst neue Ideen vor, die es ermöglichen, Informationen über die optimale Lösung eines gröberen Graphen auf einen verfeinerten Graphen zu übertragen, und zeigen, wie diese in Algorithmen verwendet werden können. Genauer gesagt stellen wir zwei allgemeine Algorithmen zur Lösung von gemischt-ganzzahligen linearen Programmen vor, die wir als `iterative refinement' und `branch-and-refine' bezeichnen. Bei der iterativen Verfeinerung geht es im Wesentlichen darum, Relaxierungen des Problems zu lösen, bis eine machbare Lösung für das ursprüngliche Problem gefunden wird. Branch-and-refine ist eine Art Branch-and-Bound-Algorithmus, bei dem die Verfeinerung des Graphen während der Erkundung des Branch-and-Bound-Suchbaums durchgeführt wird. Um die praktische Relevanz dieser Algorithmen zu demonstrieren, untersuchen wir ihn nicht nur im Zusammenhang mit akademischen Beispielen, sondern wenden ihn auch auf zwei praktisch motivierte Fragestellungen an. Das erste ist ein Problem aus der Literatur, bei dem die Routen und Zeitpläne kleiner Passagierflugzeuge so geplant werden müssen, dass Fluganfragen von Touristengruppen zu bedienen und dabei eine Vielzahl von Bedingungen zu erfüllen. Die Bedingungen betreffen unter anderem Treibstoffverbrauch, Gewicht und Umwege. Wir zeigen hier, dass Verfeinerungsalgorithmen verwendet werden können, um die besten Ergebnisse aus der Literatur zu verbessern. Das zweite Problem, das wir betrachten, ist die Aufgabe, Lieferungen und Ladezeiten von elektrischen Lieferrobotern optimal zu planen, so dass Verzögerungen minimiert werden. In diesem Fall zeigen wir, dass Verfeinerungsalgorithmen besser abschneiden als ein direkter Lösungsansatz, bei dem ein allgemeiner Löser für gemischt-ganzzahlige Probleme eingesetzt wird.…