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Torsten Ziemann

• In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilberträumen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zustände Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu wählen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zulässigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast überall punktweise konvergente Folgen zulässiger Zustandstrajektorien konvergieren gemäß dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst.In der vorliegenden Dissertation wird ein Beitrag zur Theorie der Steuerungsaufgaben mit einem a priori gegebenen unendlichen Zeithorizont geleistet. Diese Aufgabenklasse entsteht im Kontext der Quantenmechanik und der Theorie der Stabilisierung dynamischer Systeme, wo eine Divergenz des zu optimierenden Zielfunktionals ausgeschlossen werden muss. Es wird das Lebesgue-Integral zugrunde gelegt. Die Optimierung erfolgt in gewichteten Hilberträumen. Konkret werden Aufgaben betrachtet, deren Zustände Elemente eines gewichteten Sobolev-Raumes sind. Die Gewichtsfunktion µ mit µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 ist dabei geeignet zu wählen. Hierzu wird der Parameter ⍴ > 0 aus der Dynamik bestimmt. Die Steuerungsaufgabe bettet sich so in eine konvexe Hilbertraumtheorie ein. Die zulässigen Prozesse lassen sich uniform in der Norm des Hilbertraumes majorisieren. Fast überall punktweise konvergente Folgen zulässiger Zustandstrajektorien konvergieren gemäß dem Satz von Lebesgue über die majorisierte Konvergenz auch in der Topologie des Hilbertraumes selbst. Dies erlaubt es, die Aufgabe zum einen mit Methoden der Funktionalanalysis zu studieren, zum anderen punktweise Argumente zu verwenden. Konkret wird die Dynamik im Sinn eines Anfangswertproblems nach Carathéodory studiert. Die lokal absolut stetige Lösung lässt sich in den gewichteten Sobolev-Raum einbetten. Es genügen lokale, punktweise Argumente auf Seiten der Dynamik, um die Aufgabe in den Kontext einer Hilbertraumtheorie zu setzen. In diesem Kontext befasst sich die vorliegende Arbeit mit der Herleitung notwendiger Optimalitätskriterien. Es werden zwei Maximumprinzipien vom Pontryagin-Typus bewiesen. Die Kernidee zum Beweis dieser Resultate bildet die Trennung konvexer Mengen. Konkret untersuchen wir einen konvexen und abgeschlossenen Variationskegel, welcher nicht den gesamten Hilbertraum aufspannt. Der Trennungssatz von Hahn-Banach liefert neben den Kernbedingungen des Maximumprinzips - kanonische Gleichung, Maximumbedingung - auch die explizite Existenz einer Adjungierten, welche der natürlichen Transversalitätsbedingung genügt. Zur Konstruktion des Variationskegels werden entsprechend der beiden studierten Optimalitätskriterien zwei unterschiedliche Arten der Variation verwendet. Zum einen wird eine auf Euler zurückgehende Variationsidee benutzt, zum anderen ein Ansatz, der auf Weierstraß zurückzuführen ist. Ein Vergleich der hergeleiteten Maximumprinzipien mündet in einer geeigneten Formulierung einer Variation im gewichteten Hilbertraum. Gleichzeitig zeigen sich natürliche Barrieren der konvexen Analysis auf. So können mit der in dieser Arbeit präsentierten Beweistechnik lediglich Aufgaben untersucht werden, welche eine bezüglich der Steuerung affin-lineare Dynamik besitzen.…
• In the dissertation "Necessary optimality criteria for a class of control problems with an a priori given infinite time horizon" a contribution is made to the theory of control problems with an a priori given infinite time horizon. This class of problems arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems, where a divergence of the target function to be optimized has to be excluded. The work is based on the Lebesgue integral. The optimization takes place in weighted Hilbert spaces. Specifically, problems whose states are elements of a weighted Sobolev space are considered. The controls belong to a weighted Lebesgue space. The weight function µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 is a suitable choice. The parameter ⍴ > 0 is determined from the dynamics. The optimal control problem thus embeds itself in a convex Hilbert space theory. The admissible processes can be bounded uniformly. Almost everywhere point-wise convergent sequences of valid state trajectories converge in the topology of the Hilbert space asIn the dissertation "Necessary optimality criteria for a class of control problems with an a priori given infinite time horizon" a contribution is made to the theory of control problems with an a priori given infinite time horizon. This class of problems arises in the context of quantum mechanics and the theory of stabilization of dynamical systems, where a divergence of the target function to be optimized has to be excluded. The work is based on the Lebesgue integral. The optimization takes place in weighted Hilbert spaces. Specifically, problems whose states are elements of a weighted Sobolev space are considered. The controls belong to a weighted Lebesgue space. The weight function µ(t)=exp(-⍴t), ⍴ > 0 is a suitable choice. The parameter ⍴ > 0 is determined from the dynamics. The optimal control problem thus embeds itself in a convex Hilbert space theory. The admissible processes can be bounded uniformly. Almost everywhere point-wise convergent sequences of valid state trajectories converge in the topology of the Hilbert space as well, due to the Lebesgue dominated convergence theorem. This allows one to study the problem with methods of functional analysis and, on the other hand, to use point-wise arguments. Specifically, the dynamics is studied in the sense of an initial value problem after Carathéodory. The locally absolutely continuous solution can be embedded in the weighted Sobolev space. Local point-wise arguments on the side of the dynamics suffice, to place the problem in the context of a uniform theory with respect to the Hilbert space norm. In this context, the present work deals with the derivation of necessary optimality criteria. Two maximum principles of the Pontryagin type are proved. The core idea to prove these results is the separation of convex sets. Specifically, we examine a convex and closed variation cone, which does not span the entire Hilbert space. The separation theorem of Hahn-Banach provides besides the core conditions of the maximum principle - canonical equation, maximum condition - also the explicit existence of an adjoint, which satisfies the natural transversality condition. For the construction of the variation cone two different types of variation are used according to the two studied optimality criteria. On the one hand, a variation idea based on Euler is used. On the other hand, an approach that can be traced back to Weierstraß is used. A comparison of the derived maximum principles leads to a suitable formulation of a variation in the weighted Hilbert space setting. At the same time, natural barriers of convex analysis emerge. Thus, with the proof technique presented in this work, only problems can be investigated which have affine linear dynamics with respect to the control.…