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Stephan Schütze

• In dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell mit Markov-modulierter Drift. Die als Drift bezeichnete mittlere Aktienrendite wird dabei durch eine zeitstetige Markovkette modelliert, welche nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Schätzungen, die aus Beobachtungen der Aktienpreise gewonnen werden, besitzen oft nur eine unbefriedigende Genauigkeit, da Drifteffekte in den Aktienpreisen in der Regel von einer hohen Volatilität überlagert werden. Aus diesem Grunde versucht man zusätzliche Informationsquellen wie z.B. Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Empfehlungen von Finanzanalysten, Bewertungen von Ratingagenturen und die eigene intuitive Einschätzung der künftigen Preisentwicklung in die Schätzungen einzubeziehen. Diese als Expertenmeinungen bezeichneten Informationen werden mit den Aktienpreisbeobachtungen kombiniert, um eine verbesserte Driftschätzung und damit eineIn dieser Arbeit untersuchen wir optimale Portfoliostrategien für nutzenmaximierende Investoren in einem zeitstetigen Finanzmarktmodell mit Markov-modulierter Drift. Die als Drift bezeichnete mittlere Aktienrendite wird dabei durch eine zeitstetige Markovkette modelliert, welche nicht direkt beobachtbar und vom Investor aus den ihm zur Verfügung stehenden Information zu schätzen ist. Schätzungen, die aus Beobachtungen der Aktienpreise gewonnen werden, besitzen oft nur eine unbefriedigende Genauigkeit, da Drifteffekte in den Aktienpreisen in der Regel von einer hohen Volatilität überlagert werden. Aus diesem Grunde versucht man zusätzliche Informationsquellen wie z.B. Wirtschaftsnachrichten, Unternehmensberichte, Empfehlungen von Finanzanalysten, Bewertungen von Ratingagenturen und die eigene intuitive Einschätzung der künftigen Preisentwicklung in die Schätzungen einzubeziehen. Diese als Expertenmeinungen bezeichneten Informationen werden mit den Aktienpreisbeobachtungen kombiniert, um eine verbesserte Driftschätzung und damit eine bessere Performance der darauf aufbauenden optimalen Portfoliostrategien zu erzielen. Dieser Ansatz kann als eine zeitstetige Version des aus der Literatur bekannten statischen Black-Litterman-Modells betrachtet werden. Die mathematische Modellierung der Expertenmeinungen erfolgt mit Hilfe eines markierten Punktprozesses, dessen Sprunghöhenverteilung vom Zustand der nicht beobachtbaren Markovkette abhängt. In der vorliegenden Arbeit wird insbesondere ein Nutzenmaximierungsproblem für den Power-Nutzen betrachtet. Dies führt auf ein stochastisches optimales Steuerungsproblem unter unvollständiger Information, für welches die zugehörige Dynamic Programming Equation (DPE) für die Wertfunktion hergeleitet wird. Aus deren Lösung kann die optimale Anlagestrategie abgeleitet werden. Die DPE ist eine partielle Integro-Differentialgleichung, für deren Lösung verschiedene Näherungsverfahren untersucht werden. Den Schwerpunkt bilden dabei explizite und semi-implizite Differenzenverfahren, bei welchen der Differentialoperator der DPE mit finiten Differenzen und der Integraloperator mit Quadraturformeln diskretisiert wird. Für das explizite Verfahren wird ein Konvergenzbeweis angegeben. Als weitere Näherungsverfahren kommen ein Policy-Improvement-Verfahren und die Monte- Carlo-Methode zum Einsatz. Die genannten Verfahren wurden implementiert und die Arbeit präsentiert Ergebnisse zu den durchgeführten numerischen Experimenten. Im letzten Teil der Arbeit werden schließlich Diffusionsapproximationen für hochfrequente zeitdiskrete Expertenmeinungen betrachtet. Dazu wird insbesondere der Integraloperator der DPE für gegen unendlich strebende Intensität des Eintreffens der Expertenmeinungen untersucht. Die erhaltene Asymptotik erlaubt einerseits die Approximation der zeitdiskreten Experten durch einen als zeitstetigen Experten bezeichneten Diffusionsprozess und ist andererseits die Grundlage für ein weiteres Näherungsverfahren zur Lösung des Nutzenmaximierungsproblemes.…
• This thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a market with Markov-modulated drift. The drift is modelled as a function of a continuous-time Markov chain with initely many states which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Drift estimates based on asset price observations usually suffer from a quite poor accuracy since drift effects are overshadowed by a high volatility. Therefore, practitioners rely also on external sources of information such as news, company reports, ratings and on their own intuitive views when determining drift estimates. These outside sources of information are called expert opinion and combined with asset price observations to improve the drift estimate and the performance of portfolio strategies. That procedure can be seen as a continuous-time version of the classical Black-Litterman approach. The expert opinions are modelled by a marked point process with jump-size distribution depending on the current state of the hiddenThis thesis investigates optimal portfolio strategies for utility maximizing investors in a market with Markov-modulated drift. The drift is modelled as a function of a continuous-time Markov chain with initely many states which is not directly observable and has to be estimated from observable quantities. Drift estimates based on asset price observations usually suffer from a quite poor accuracy since drift effects are overshadowed by a high volatility. Therefore, practitioners rely also on external sources of information such as news, company reports, ratings and on their own intuitive views when determining drift estimates. These outside sources of information are called expert opinion and combined with asset price observations to improve the drift estimate and the performance of portfolio strategies. That procedure can be seen as a continuous-time version of the classical Black-Litterman approach. The expert opinions are modelled by a marked point process with jump-size distribution depending on the current state of the hidden factor process. We focus on the portfolio selection problem for power utility and study the associated stochastic optimal control problem under partial information for which we derive the corresponding dynamic programming equation (DPE) for the value function. Solving the DPE then allows to compute optimal portfolio strategies. The DPE is a nonlinear partial integro differential equation which we solve by using various numerical methods. The focus is on explicit and semi-implizit difference schemes. Here, the differential operator is discretized by finite differences and the integral operator by quadrature rules. For the explicit case a convergence proof is given. As an alternative we solve the control problem using the policy improvement method and Monte Carlo methods. Numerical results are presented. Finally, we investigate diffusion approximations for high-frequency discrete-time expert opinions. For this purpose we study the limiting behavior of the integral operator in the DPE for increasing arrival intensity of the expert opinions. Based on these asymptotic results the high-frequency discrete-time expert is approximated by a continuous-time expert modelled by a diffusion process. This allows to derive an additional method to solve the utility maximization problem numerically.…