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Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich zunächst mit dem Ausbau der Hartree-Fock-Bogoliubov Theorie (HFB-Theorie), bzw. mit der Frage nach deren Exaktheit. Es werden sowohl fermionische als auch bosonische Vielteilchensysteme betrachtet, wobei auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Statistiken Wert gelegt wurde. Eine zentrale Rolle für die jeweiligen Variationsprinzipien spielen in beiden Fällen die sogenannten quasi-freien Zustände, die durch das Verschwinden ihrer höheren trunkierten Korrelationen charakterisiert sind. Dieses letzte Phänomen untersuchen wir im bosonischen Fall im Detail. Durch die Übertragung des von Bach, Lieb und Solovej erbrachten Beweises der 1:1-Relation zwischen verallgemeinerten Dichtematrizen und quasi-freien Zuständen vom fermionischen in den bosonischen Kontext, können wir die Variationsprinzipien auf den konvexen Mengen der verallgemeinerten Dichtematrizen formulieren. Wir erhalten auf diese Weise einen deutlich einfacheren und konstruktiveren Beweis als beispielsweise den bereits bekannten Beweis der 1:1-Relation von Araki. Außerdem verallgemeinern wir auf den Fall nichtverschwindender Einpunktsfunktionen. Parallel entwickeln wir für beide Statistiken die mächtige Methode der kohärenten Zustände, wobei auch hier auf eine möglichst analoge Behandlung der beiden Fälle Wert gelegt wird. Dieser Teil der Arbeit kulminiert in der Berechnung des generierenden Funktionals von Gibbszuständen allgemeiner quadratischer Operatoren, die die Teilchenzahl möglicherweise nicht erhalten. Im bosonischen Fall können wir dieses Resultat benutzen, um die Quasi-Freiheit dieser Zustände zu zeigen. Wir beschäftigen uns dann mit der Behandlung wechselwirkender Vielteilchensysteme mit periodischen Randbedingungen. Hierbei betrachten wir Wechselwirkungen, die ähnlich wie das Coulomb Potential, als gewichtetes Mittel eines Produktes von lokalisierten Funktionen geschrieben werden können. Anders als etwa Fefferman und de la Llave oder Hainzel und Seiringer, nehmen wir als Lokalisierungsfunktionen periodifizierte Gaußfunktionen. Schließlich beschäftigen wir uns mit der Frage, wie der Approximationsfehler der HFB-Theorie zu kontrollieren sei. Eine wichtige Rolle spielen hierbei die sogenannten Korrelationsungleichungen, die es erlauben Erwartungswerte in quartischen Ausdrücken in den Teilchenvernichtern und Erzeugern möglichst ausschließlich durch quadratische solche abzuschätzen. Im fermionischen Fall stellt sich heraus, dass insbesondere normalgeordnete quartische Ausdrücke zu kontrollieren sind. Wir leiten eine entsprechende Korrelationsungleichung her, die allgemeiner als die von Bach sowie von Graf und Solovej verwendete ist, und benützen diese um die Grundzustandsenergie des fermionischen Jellium Modells nach unten abzuschätzen. Wir erhalten hierbei ein ähnliches Resultat wie das bereits bekannte. Im bosonischen Fall gelingt es lediglich eine Korrelationsungleichung herzuleiten, auf deren rechter Seite auch quartische Erwartungswerte des Typs des Quadrates des Teilchenzahloperators vorkommen. Dies überrascht jedoch nicht.
The aim of the present work is to elaborate on an approximation method in quantum mechanics, known as Hartree-Fock-Bogoliubov Theory (HFB-Theory), and particularly to estimate its approximation error. Many particle systems with bosonic and with fermionic statistics are considered, attempting to develop both theories in a parallel fashion. A central role for both variational principles is played by the set of quasi-free states. These states are characterized by the vanishing of their higher truncated correlations. This phenomenon is analyzed in great detail in the bosonic case. We prove that, in both cases, this set of states is in 1:1 correspondence with the set of generalized density matrices, by carrying over a proof of this fact presented by Bach, Lieb and Solovej from the fermionic to the bosonic context. We obtain a simpler proof of the bosonic 1:1 correspondence as a previous proof given by Araki. Furthermore, we generalize to the case of bosonic states, which may not be even. We can thus formulate the variational principles over the convex sets of generalized density matrices. We also develop, again parallel for both statistics, the powerful approach of coherent states. This part of the present work culminates in the calculation of a generating functional of Gibbs states associated to quadratic hamilton operators, which may not conserve the number of particles. We use this result to show that such bosonic Gibbs states are indeed quasi-free. Next, we turn to the analysis of interacting many particle systems with periodic boundary conditions. In particular, we consider interactions, which can be represented by a weighted average of a product of localization functions. In contrast to Fefferman and de la Llave or to Hainzel and Seiringer, our localization functions are given by periodic gaussians. Finally, we estimate the approximation error of HFB-Theory. An important role is played by the so called correlation estimates, which control quartic expectation values by quadratic expectation values (as far as possible). In the fermionic case, it turns out that one has to estimate a normal ordered quartic expectation value. We derive a suitable correlation estimate, more general then the ones used by Bach and by Graf and Solovej, and use it to estimate the ground state energy density of the fermionic Jellium Model. We obtain a result similar to previous ones. In the bosonic case, we derive a correlation estimate in terms of quadratic expectation values and the quartic expectation value of the square of the particle number operator. It does not come as a surprise, however, that an estimate, entirely in terms of quadratic expectations, is not achieved.
