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Rational Hedging and Valuation with Utility-Based Preferences
Becherer, Dirk
Die vorliegende Arbeit behandelt stochastische Optimierungsprobleme, in denen ein konkaves Funktional über einem Raum von stochastischen Integralen maximiert wird. In der Finanzmathematik treten derartige Probleme bei der Behandlung von Bewertungs-, Absicherungs-, und Anlageproblemen in unvollständigen Finanzmärkten auf. Wir beschäftigen uns vornehmlich mit nutzenbasierten Methoden zur Bewertung und Absicherung von zufallsbehafteten Finanzpositionen, welche unvermeidbare intrinsische Risiken beinhalten. Wir betrachten das Problem aus der Perspektive eines rationalen Investors, dessen Ziel die Maximierung seines erwarteten exponentiellen Nutzens ist. Ausgehend von diesen Präferenzen, definieren wir mittels Nutzenindifferenz-Argumenten seinen Bewertungsprozess und eine Absicherungsstrategie. In einem Semimartingalmodell kann die Lösung durch ein stochastisches Darstellungsproblem charakterisiert werden. Um das Problem zu lösen, gilt es ein Martingalmaß zu finden, dessen Dichteprozess eine bestimmte Form hat. Im Weiteren untersuchen wir zwei Modelle, welche gewissen strukturellen Bedingungen genügen. In einem halbvollständigen Produktmodell wird gezeigt, dass die Nutzenindifferenz-Bewertungs- und Absicherungsmethode additiv ist, wenn sie auf ein Aggregat von ''genügend unabhängigen'' Positionen angewandt wird. Wir untersuchen Diversifikationseffekte und leiten ein Berechnungsschema her. Für das zweite Modell betrachten wir ein Markovsches System stochastischer Differentialgleichungen, welches einen Ito-Prozess und einen weiteren Prozess mit endlichem Zustandsraum beschreibt und verschiedene wechselseitige Abhängigkeiten zulässt. In unserem Marktmodell stellt der Ito-Prozess die Preise der riskanten Anlagen dar während der zweite Prozess irgendwelche nicht handelbaren Risikofaktoren repräsentiert. Die Lösung des Bewertungs- und Absicherungsproblems wird durch ein wechselwirkenendes System semilinearer partieller Differentialgleichungen, eine so genannte Reaktions-Diffusions Gleichung, beschrieben. Mittels Feynman-Kac Resultaten und der Iterationstechnik von Picard zeigen wir Existenz und Eindeutigkeit einer klassischen Lösung. Ergänzend zu unserem Hauptthema nutzen wir ein ähnliches Indifferenzargument um den Wert von zusätzlichen Anlage-Informationen zu quantifizieren. Die wesentlichen Mittel sind eine Martingal erhaltende Maß transformation und Martingal-Darstellungsresultate für anfangsvergröß erte Filtrationen. Schließlich zeigen wir, dass das so genannte Numeraire-Portfolio mit einer weiteren nutzenbasierten Bewertungsmethode zusammenhängt, welche sich auf ein Grenznutzenargument stützt und als Grenzfall der Indifferenz-Methode angesehen werden kann.
In this thesis, we study stochastic optimization problems in which concave functionals are maximized on spaces of stochastic integrals. Such problems arise in mathematical finance for a risk-averse investor who is faced with valuation, hedging, and optimal investment problems in incomplete financial markets. We are mainly concerned with utility-based methods for the valuation and hedging of non-replicable contingent claims which confront the issuer with some inevitable intrinsic risks. We adopt the perspective of a rational investor who aims to maximize his expected exponential utility. Based on these preferences, the issuer's valuation process and hedging strategy are defined via utility indifference arguments. In a general semimartingale model, the solution to this problem is characterized by a stochastic representation problem. Solving the problem amounts to finding a martingale measure whose density process can be written in a particular form. We then specialize our analysis to two stochastic models which satisfy further structural assumptions. In a semi-complete product model, the valuation and hedging methods are shown to be additive when applied to an aggregate of ''sufficiently independent'' individual claims. We study the impact of diversification and derive a computation scheme. For a second model, we set up a Markovian system of stochastic differential equations which describes the dynamics of an Ito process and an additional finite-state process, and permits for various dependencies between both. In the financial market model, the Ito process models the price fluctuations of the risky assets while the second process represents some untradable factors of risk. The solution to the pricing and hedging problem is explicitly described by an interacting system of semi-linear partial differential equations, a so-called reaction-diffusion equation. Using Feynman-Kac results and the Picard-iteration method, we establish existence and uniqueness of a classical solution. In a variation of the basic theme, a similar utility indifference approach is app lied to quantify the value of additional investment information. On the mathematical side, this involves a martingale preserving measure transformation and martingale representation results for initially enlarged filtrations. Finally, we show that the so-called numeraire portfolio is related to another utility-based valuation method which relies on a marginal rate of substitution argument and can be seen as a limiting case of the utility indifference method.
