Ralf Rothenberger

• Boolean Satisfiability (SAT) is one of the problems at the core of theoretical computer science. It was the first problem proven to be NP-complete by Cook and, independently, by Levin. Nowadays it is conjectured that SAT cannot be solved in sub-exponential time. Thus, it is generally assumed that SAT and its restricted version k-SAT are hard to solve. However, state-of-the-art SAT solvers can solve even huge practical instances of these problems in a reasonable amount of time. Why is SAT hard in theory, but easy in practice? One approach to answering this question is investigating the average runtime of SAT. In order to analyze this average runtime the random k-SAT model was introduced. The model generates all k-SAT instances with n variables and m clauses with uniform probability. Researching random k-SAT led to a multitude of insights and tools for analyzing random structures in general. One major observation was the emergence of the so-called satisfiability threshold: A phase transition point in the number of clauses at whichBoolean Satisfiability (SAT) is one of the problems at the core of theoretical computer science. It was the first problem proven to be NP-complete by Cook and, independently, by Levin. Nowadays it is conjectured that SAT cannot be solved in sub-exponential time. Thus, it is generally assumed that SAT and its restricted version k-SAT are hard to solve. However, state-of-the-art SAT solvers can solve even huge practical instances of these problems in a reasonable amount of time. Why is SAT hard in theory, but easy in practice? One approach to answering this question is investigating the average runtime of SAT. In order to analyze this average runtime the random k-SAT model was introduced. The model generates all k-SAT instances with n variables and m clauses with uniform probability. Researching random k-SAT led to a multitude of insights and tools for analyzing random structures in general. One major observation was the emergence of the so-called satisfiability threshold: A phase transition point in the number of clauses at which the generated formulas go from asymptotically almost surely satisfiable to asymptotically almost surely unsatisfiable. Additionally, instances around the threshold seem to be particularly hard to solve. In this thesis we analyze a more general model of random k-SAT that we call non-uniform random k-SAT. In contrast to the classical model each of the n Boolean variables now has a distinct probability of being drawn. For each of the m clauses we draw k variables according to the variable distribution and choose their signs uniformly at random. Non-uniform random k-SAT gives us more control over the distribution of Boolean variables in the resulting formulas. This allows us to tailor distributions to the ones observed in practice. Notably, non-uniform random k-SAT contains the previously proposed models random k-SAT, power-law random k-SAT and geometric random k-SAT as special cases. We analyze the satisfiability threshold in non-uniform random k-SAT depending on the variable probability distribution. Our goal is to derive conditions on this distribution under which an equivalent of the satisfiability threshold conjecture holds. We start with the arguably simpler case of non-uniform random 2-SAT. For this model we show under which conditions a threshold exists, if it is sharp or coarse, and what the leading constant of the threshold function is. These are exactly the three ingredients one needs in order to prove or disprove the satisfiability threshold conjecture. For non-uniform random k-SAT with k=3 we only prove sufficient conditions under which a threshold exists. We also show some properties of the variable probabilities under which the threshold is sharp in this case. These are the first results on the threshold behavior of non-uniform random k-SAT.…
• Das Boolesche Erfüllbarkeitsproblem (SAT) ist eines der zentralsten Probleme der theoretischen Informatik. Es war das erste Problem, dessen NP-Vollständigkeit nachgewiesen wurde, von Cook und Levin unabhängig voneinander. Heutzutage wird vermutet, dass SAT nicht in subexponentialler Zeit gelöst werden kann. Darum wird allgemein angenommen, dass SAT und seine eingeschränkte Version k-SAT nicht effizient zu lösen sind. Trotzdem können moderne SAT solver sogar riesige Echtweltinstanzen dieser Probleme in angemessener Zeit lösen. Warum ist SAT theoretisch schwer, aber einfach in der Praxis? Ein Ansatz um diese Frage zu beantworten ist die Untersuchung der durchschnittlichen Laufzeit von SAT. Um diese durchschnittliche oder typische Laufzeit analysieren zu können, wurde zufälliges k-SAT eingeführt. Dieses Modell erzeugt all k-SAT-Instanzen mit n Variablen und m Klauseln mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Die Untersuchung des Zufallsmodells für k-SAT führte zu einer Vielzahl von Erkenntnissen und Techniken zur Untersuchung zufälligerDas Boolesche Erfüllbarkeitsproblem (SAT) ist eines der zentralsten Probleme der theoretischen Informatik. Es war das erste Problem, dessen NP-Vollständigkeit nachgewiesen wurde, von Cook und Levin unabhängig voneinander. Heutzutage wird vermutet, dass SAT nicht in subexponentialler Zeit gelöst werden kann. Darum wird allgemein angenommen, dass SAT und seine eingeschränkte Version k-SAT nicht effizient zu lösen sind. Trotzdem können moderne SAT solver sogar riesige Echtweltinstanzen dieser Probleme in angemessener Zeit lösen. Warum ist SAT theoretisch schwer, aber einfach in der Praxis? Ein Ansatz um diese Frage zu beantworten ist die Untersuchung der durchschnittlichen Laufzeit von SAT. Um diese durchschnittliche oder typische Laufzeit analysieren zu können, wurde zufälliges k-SAT eingeführt. Dieses Modell erzeugt all k-SAT-Instanzen mit n Variablen und m Klauseln mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Die Untersuchung des Zufallsmodells für k-SAT führte zu einer Vielzahl von Erkenntnissen und Techniken zur Untersuchung zufälliger Strukturen im Allgemeinen. Eine der größten Entdeckungen in diesem Zusammenhang war das Auftreten des sogenannten Erfüllbarkeitsschwellwerts: Ein Phasenübergang in der Anzahl der Klauseln, an dem die generierten Formeln von asymptotisch sicher erfüllbar zu asymptotisch sicher unerfüllbar wechseln. Zusätzlich scheinen Instanzen, die um diesen Übergang herum erzeugt werden, besonders schwer zu lösen zu sein. In dieser Arbeit analysieren wir ein allgemeineres Zufallsmodell für k-SAT, das wir nichtuniformes zufälliges k-SAT nennen. Im Gegensatz zum klassischen Modell, hat jede Boolesche Variable jetzt eine bestimmte Wahrscheinlichkeit gezogen zu werden. Für jede der m Klauseln ziehen wir k Variablen entsprechend ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung und wählen ihre Vorzeichen uniform zufällig. Nichtuniformes zufälliges k-SAT gibt uns mehr Kontrolle über die Verteilung Boolescher Variablen in den resultierenden Formeln. Das erlaubt uns diese Verteilungen auf die in der Praxis beobachteten zuzuschneiden. Insbesondere enthält nichtuniformes zufälliges k-SAT die zuvor vorgestellten Modelle zufälliges k-SAT, skalenfreies zufälliges k-SAT und geometrisches zufälliges k-SAT als Spezialfälle. Wir analysieren den Erfüllbarkeitsschwellwert in nichtuniformem zufälligen k-SAT abhängig von den Wahrscheinlichkeitsverteilungen für Variablen. Unser Ziel ist es, Bedingungen an diese Verteilungen abzuleiten, unter denen ein Äquivalent der Erfüllbarkeitsschwellwertsvermutung für zufälliges k-SAT gilt. Wir fangen mit dem wahrscheinlich einfacheren Modell nichtuniformem zufälligen 2-SAT an. Für dieses Modell zeigen wir, unter welchen Bedingungen ein Schwellwert existiert, ob er steil oder flach ansteigt und was die führende Konstante der Schwellwertfunktion ist. Das sind genau die Zutaten, die man benötigt um die Erfüllbarkeitsschwellwertsvermutung zu bestätigen oder zu widerlegen. Für nichtuniformes zufälliges k-SAT mit k≥3 zeigen wir nur hinreichende Bedingungen, unter denen ein Schwellwert existiert. Wir zeigen außerdem einige Eigenschaften der Variablenwahrscheinlichkeiten, die dazu führen, dass der Schwellwert steil ansteigt. Dies sind unseres Wissens nach die ersten allgemeinen Resultate zum Schwellwertverhalten von nichtuniformem zufälligen k-SAT.…