Topological phases are quantum phases of matter that appear close to absolute zero temperature. In contrast to commonly known condensed phases of matter, such as a magnet or a superconductor, distinct topological phases may have the same symmetry. Instead, these phases are distinguished by the topology of the electronic wavefunction. Already the single-particle excitations described by band theory in an insulator or a metal or by Bogoliubov-de Gennes theory in a superconductor may have novel anomalous properties associated to their topology. This topological band theory is the subject of this thesis. We aim towards identifying the anomalous boundary and defect states associated to the topology of the band structure in crystalline insulators and superconductors. Furthermore, we determine criteria to easily identify the topological phases from the band structure of a given insulator or superconductor.
In Chapter 2 we show that crystalline topological insulators and superconductors may host anomalous gapless or in-gap excitations on corners of a two-dimensional crystal or hinges of a three-dimensional crystal. These topological phases are called "second-order" according to the codimension "2" of their anomalous boundary states. We discuss the precise conditions for their appearance and when they can be linked to the bulk topology. Our discussion includes mirror, twofold-rotation and inversion as crystalline symmetries.
In Chapter 3 we discuss the appearance of anomalous gapless or ingap states at defects in a crystalline insulator or superconductor. In particular, we link the existence of anomalous states at disclinations -- lattice defects that violate a rotation symmetry only locally -- to second-order topological crystalline phases. As a side product, we identify the possible contributions of other topological phases to the disclination anomaly. The results of this chapter allow to determine precisely how the disclination anomaly is linked to the bulk topology.
In Chapter 4 we present how to construct "symmetry-based indicators" for topological superconductors that admit a description within the Bogoliubov-de Gennes framework. Symmetry-based indicators are necessary criteria for a given Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian to realize a topological crystalline phase with anomalous boundary exitations. These criteria are formulated in terms of data from a small set of high-symmetry momenta only. Our approach guarantees to extract the maximal information on the anomalous boundary exitations that can be extracted from a point-wise evaluation of the Bogoliubov-de Gennes Hamiltonian. In the limit of weak superconducting pairing, our criteria can be formulated in terms of data from the normal-state band structure alone.
Topologische Phasen sind Quanten-Phasen, welche in Festkörpern nahe dem absoluten Temperatur-Nullpunkt auftreten. Im Gegensatz zu gewöhnlichen Phasen in Festkörpern, wie einem Magneten oder Supraleiter, können verschiedene topologische Phasen die gleiche Symmetrie haben. Stattdessen werden diese Phasen durch die Topologie der elektronischen Wellenfunktion unterschieden. Bereits Einteilchen-Anregungen, welche durch die Bandstruktur oder eine Bogoliubov-de Gennes Theorie in Supraleitern beschrieben werden, können aufgrund ihrer Topologie neue, anomale Eigenschaften haben. Das Ziel dieser Arbeit ist es anomalen Zustände an Ränder und Defekten zu identifizieren, welche mit der Topologie der Einteilchen-Anregungen in kristallinen Isolatoren oder Supraleitern assoziert sind. Ausserdem wird eine Methode vorgestellt, mit welcher sich einfache Kriterien für die Identifizierung der Topologie der zugehörigen Bandstruktur oder Bogoliubov-de Gennes Theorie aufstellen lassen.
In Kapitel 2 wird gezeigt, dass kristalline topologische Isolatoren und Supraleiter anomale Zustände an Ecken eines zweidimensionalen Kristalls oder an Kanten eines dreidimensionalen Kristalls beherbergen können. Diese topologischen Phasen werden "zweiter Ordnung" genannt, nach der Kodimension "2" ihrer anomalen Randzustände. Es werden die genauen Bedingungen für das Auftreten dieser anomalen Zustände diskutiert, so wie unter welchen Umständen sie mit der Topologie der Wellenfunktion im Kristall in Verbindung gebracht werden können. Unsere Diskussion umfasst Spiegel-, zweifache Rotation-, sowie Inversionssymmetrie.
In Kapitel 3 wird das Auftreten von anomalen Zuständen an Defekten im Kristall diskutiert. Insbesondere wird gezeigt, dass die Existenz von anomalen Zuständen an Disklinationen -- Gitterdefekte welche eine Rotationssymmetrie nur lokal verletzen -- mit der Präsenz einer topologischen Phase zweiter Ordnung verbunden ist. Ausserdem werden alle möglichen Beiträge von anderen topologischen Phasen zur Anomalie an der Disklination identifiziert. Mit den Ergebnissen aus diesem Kapitel lässt sich der genaue Zusammenhang zwischen der Anomalie an der Disklination und der Topologie des Kristalls bestimmen.
In Kapitel 4 werden "Symmetrie-basierte Indikatoren" für topologische Supraleiter vorgestellt, welche sich durch einen Bogoliubov-de Gennes (BdG) Hamiltonians beschreiben lassen. Symmetrie-basierte Indikatoren sind notwendige Kriterien damit ein gegebener Einteilchen-Hamiltonian eine topologische Phase mit anomalen Randzuständen realisiert. Für diese Kriterien ist die Kenntnis des BdG Hamiltonian an einer kleinen Menge von Hochsymmetrie-Impulsen ausreichend. Unsere Methode garantiert, dass die maximale Information über die anomalen Randzustände des topologischen Supraleiters gewonnen wird, welche sich aus einer punktweisen Evaluation des BdG Hamiltonians extrahieren lässt.
