Open Access

Arthur Dromard

• The Standard Model is one of the greatest successes of modern theoretical physics. Itl describes the physics of elementary particles by means of three forces, the electro-magnetisc, the weak and the strong interactions. The electro-magnetic and the weak interaction are rather well understood in comparison to the strong interaction. The latest is as fundamental as the others, it is responsible for the formation of all hadrons which are classified into mesons and baryons. Well-known examples of the former is the pion and of the latter is the proton and the neutron, which form the nucleus of every atom. This fundamental force is believed to be described by the Quantum Chromodynamics (QCD) theory. According to this theory, hadrons are not elementary particles but are composed of quarks and gluons. The latter are the vector particles of the force and so are bosons of spin 1 and the former constitute the matter and are fermions with spin 1/2. To describe the interaction a new quantum number had to be introduced: the color charge which exists in three different types (blue, green and red). The name has not been chosen arbitrary as elements created from three quarks of different colors are colorless in the same way that mixing the three primary colors leads to white. However, experimentally no colored structure has ever been observed. The quarks and the gluons seem to be confined in colorless hadrons. This property of QCD is called confinement and results from a large coupling constant at low energy (or large distance). For high energy (or small distance), the perturbative analysis of QCD permits to establish the coupling constant to be small and quarks and gluons are almost free. This property is called asymptotic freedom. The possibility for QCD to describe both behaviors is one of its amazing characteristics. However, both phenomena are not well understood and one needs a method to study both the pertubative and the confining regime. The only known method which fulfills the above criteria is Lattice QCD and more generally Lattice Quantum Field Theory (LQFT). It consists of a discretization of the spacetime and a formulation of QCD on a four-dimensional Euclidean spacetime grid of spacing a. In this way, the theory is naturally regularized and mathematically well-defined. On the other hand, the path integral formalism allows the theory to be treated as a Statistical Mechanics system which can be evaluated via a Markov chain Monte-Carlo algorithm. This method was first suggested by Wilson in 1974 [1] and shortly after Creutz performed the first numerical simulations of Yang-Mills theory [2] using a heath-bath Monte-Carlo algorithm. It appears that this method is extremely demanding in computational power. In its early days the method was criticized as the only feasible simulations involved non-physical values such as extremely large quark masses, large lattice spacing a and no dynamical quarks. With the progress of the computers and the appearance of the super-computer, the studies have come close to the physical point. But one still needs to deal with discrete space time and finite volume. Several techniques have been developed to estimate the infinite volume limit and the continuum limit. The smaller the lattice spacing and the larger the volume, the better the extrapolation to continuum and infinite volume limits is. The simulations are still very expensive and for the moment a typical length of the box is L ≈ 4fm and a ≈ 0.08fm. However, it has been realized simulating pure Yang-Mills theory and other lower dimensional models that the topology is freezing at small a [3]. It was also observed recently on full QCD simulations [4,5]. The typical lattice spacing for which this problem appears in QCD is a ≈ 0.05fm but this value depends on the quark mass used and on the algorithm. The freezing of topology leads to results which differ from physical results. Solving this issue is important for the future of LQCD [6]. Recently several methods to overcome the problem have been suggested, one of the most popular is the used of open boundary conditions [7] but this promising method has still its own issues, mainly the breaking of translation invariance.
• Das Standardmodell ist eine der größten Errungenschaften dermodernen theoretischen Physik. Es beschreibt die Physik der Elementarteilchen mit Hilfe von drei Kräften. Dabei handelt es sich um die Elektrodynamik, die schwache und die starke Wechselwirkung. Während die Elektrodynamik sowie die schwache Wechselwirkung bereits verstanden sind, ist dies nicht der Fall für die starke Wechselwirkung. Ebenso fundamental wie die beiden anderen Kräfte, ist die starke Wechselwirkung verantwortlich für die Entstehung aller Hadronen, welche in Mesonen und Baryonen klassifiziert werden. Ein sehr bekanntes Beispiel für erstere ist das Pion und für letztere das Proton sowie das Neutron, aus welchen der Kern eines jeden Atoms besteht. Diese fundamentale Kraft scheint durch eine Theorie namens Quantenchromodynamik (QCD) beschrieben werden zu können. Dieser Theorie zur Folge, handelt es sich bei Hadronen nicht um elementare Teilchen, sondern um Objekte, die aus Quarks und Gluonen zusammengesetzt sind. Letztere sind die Vektorteilchen der Kraft, das heisst es handelt sich um Bosonen mit Spin 1. Bei den Quarks, welche die Materie-Bestandteile darstellen, handelt es sich um Fermionen mit Spin 1/2. Die Beschreibung der Wechselwirkung erforderte das Einführen einer neuen Quantenzahl, die sogenannte Farbladung, welche in drei verschiedenen Ausführung existiert, blau, grün und rot. Die Namenswahl ist wohlgemerkt kein Zufall. Beispielsweise sind Objekte, welche aus drei Quarks zusammengesetzt sind, stets farbneutral, in der gleichen Art und Weise wie das Mischen der drei Primärfarben weiss ergibt. Hingegen konnten Zuständemit einer bestimmten Farbe experimentell nicht nachgewiesen werden. Quarks und Gluonen scheinen in farbneutralen, hadronischen Zuständen begrenzt zu sein. Diese Eigenschaft der QCD wird mit dem Begriff Confinement bezeichnet und resultiert aus der starken Kopplung bei niedriger Energie oder großer Distanz. Hingegen ist die Kopplungskonstante der QCD für große Energien (bzw. kleine Distanzen) klein, das heisst, dass Quarks und Gluonen kaum wechselwirken und nahezu frei sind, wodurch eine störungstheoretische Behandlung der QCD möglich wird. Diese Eigenschaft bezeichnet man auch als asymptotische Freiheit. Die Möglichkeit der QCD beide Verhaltensweisen zu beschreiben, ist eine ihrer herausragendsten Eigenschaften. Wie dem auch sei, ist bislang keines der beiden Phänomene ausreichend erforscht. Benötigt wird somit eine Methode, mit welcher man das Regime untersuchen kann, in dem störungstheoretische Behandlung möglich ist, als auch jenes, das vom sog. Confinement bestimmt wird. Die einzige bekannte Methode, welche die Kriterien erfüllt, um eine solche Untersuchung zu ermöglichen, ist die sog. Gitter QCD, bzw. im allgemeinen Gittereichtheorie. Dabei wird die Theorie diskretisiert und auf einem vier dimensionalen euklidischen Raum-Zeit Gitter formuliert. Auf diese Weise ist die Theorie auf natürliche Weise regularisiert und mathematisch wohl definiert. Auf der anderen Seite erlaubt der sog. Pfadintegral-Formalismus die Behandlung der Theorie als ein System der statistischen Mechanik, welches beispielsweise durch einen eine Markov Kette erzeugenden Monte Carlo Algorithmus berechnet werden kann. Diese Vorgehensweise wurde erstmals von Wilson in 1974 [1] vorgeschlagen. Kurz darauf führte Creutz die ersten numerischen Simulationen der Yang-Mills Theorie [2] mit einem sog. heat-bath Monte Carlo Algorithmus aus.