On right conjugacy closed loops and right conjugacy closed loop folders

Artic, Katharina; Hiß, Gerhard; Niemeyer, Alice C.

doi:HT019244747

On right conjugacy closed loops and right conjugacy closed loop folders = Über rechts-konjugationsinvariante Loops und rechts-konjugationsinvariante Loop-Folder

Artic, Katharina^RWTH*

2017

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Dipl.-Math. Katharina Artic, geb. Suchantke

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (113 Seiten)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hiß, Gerhard (Thesis advisor)^RWTH* ; Niemeyer, Alice C. (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-02-16

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2017-019085
DOI: 10.18154/RWTH-2017-01908
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/684327/files/684327.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/684327/files/684327.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
RCC loops (frei) ; loops (frei) ; loop folders (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 004

Kurzfassung
Loops erlauben uns, Strukturen mit einer möglicherweise nicht assoziativen Multiplikation zu untersuchen. Sie wurden seit Beginn des letzten Jahrhunderts intensiv erforscht. Zwischen Loops und Gruppen besteht über spezielle gruppentheoretische Objekte, sogenannte Loop-Folder, eine bereits bekannte Beziehung. Diese Verbindung erlaubt die Untersuchung von Loops mit gruppentheoretischen Methoden. Ein rechts-konjugationsinvarianter Loop ist ein Loop, dessen Rechtsmultiplikationen unter Konjugation abgeschlossen sind. Solche Loops werden kurz als RCC Loops bezeichnet.Diese Dissertation untersucht RCC Loops und RCC Loop-Folder. Nachdem grundlegende Eigenschaften von RCC Loop-Foldern dargelegt wurden, wird die Beziehung zwischen Loops und Gruppen genutzt, um RCC Loops anhand ihrer Hüllen (spezielle Loop-Folder) zu erforschen. Weiter wird gezeigt, dass die Gruppe PSL(2,q) niemals isomorph zur Gruppe eines RCC Loop-Folders ist und ein neuer, gruppentheoretischer Beweis eines bekannten Resultates von Aleš Drápal angegeben: Ein RCC Loop von Primzahlordnung ist assoziativ. Die Idee dieses Beweises wird anschließend verallgemeinert, um zu zeigen, dass die Rechtsmultiplikationsgruppe eines nicht assoziativen RCC Loops der Ordnung p1p2 (mit zwei verschiedenen Primzahlen p1 und p2) eine imprimitive Gruppe ist. Weiterhin wird ein Algorithmus zur Berechnung von Hüllen nicht assoziativer RCC Loops angegeben. Dieser Algorithmus wurde zur Berechnung aller RCC Loops der Ordnungen bis einschließlich 30 verwendet. Eine Datenbank dieser RCC Loops wurde erstellt und ist nun über das frei verfügbare Computeralgebraprogramm GAP mittels des Paketes LOOPS von Gábor P. Nagy und Petr Vojtěchovsky verfügbar.

Loops allow us to study structures with a possibly non-associative multiplication. They have been researched intensely since the beginning of last century. There is a known relationship between loops and groups via group theoretic objects named loop folders. This relationship allows us to examine loops with group theoretic methods. A right conjugacy closed loop is a loop whose set of right multiplications is closed under conjugation. We call such loops RCC loops.This thesis examines RCC loops and RCC loop folders. After presenting some basic properties of RCC loop folders we use the relationship between loops and groups to examine RCC loops by considering their envelopes. We show that the group PSL(2,q) is never isomorphic to the group of an RCC loop folder and give a new group theoretic proof of a known result of Aleš Drápal: An RCC loop of prime order is associative. The idea of this proof is generalized to show that the right multiplication group of a non-associative RCC loop of order p1p2 where p1 and p2 are distinct primes, is an imprimitive group. Further we present an algorithm to compute the envelopes of non-associativeRCC loops. This algorithm has been used to compute all RCC loops of an order up to 30. A database of these RCC loops is compiled and available in the open source computer algebra system GAP via the package LOOPS} by Gábor P. Nagy and Petr Vojtěchovsky.

OpenAccess:
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