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Themen der Hecke-Theorie zur orthogonalen Gruppe O(2,n+2) = Topics of Hecke theory for the orthogonal group O(2,n+2)



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Jonas Gallenkämper, M. Sc.

ImpressumAachen 2017

Umfang1 Online-Ressource (159 Seiten)


Dissertation, RWTH Aachen University, 2017

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
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Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2017-02-08

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2017-007787
DOI: 10.18154/RWTH-2017-00778
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/682281/files/682281.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/682281/files/682281.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

  1. Lehrstuhl A für Mathematik (114110)
  2. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Hecke-Operatoren (frei) ; Hecke-Theorie (frei) ; Modulformen (frei) ; orthogonale Gruppe (frei) ; paramodulare Gruppe (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Sei $t\in \mathbb{N}$ quadratfrei und $S_t:=\left(\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \right) \bot \left(\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \right) \bot (-2t)$. Wir betrachten $M_t(m):=\{M\in\mathbb{Z}^{5\times 5}; M^{tr}S_tM=m^2S_t\}$, $\Gamma_t:=M_t(1)$ und $\mathcal M_t:=\bigcup_{m\in \mathbb{N}}M_t(m)$. Die Hecke-Algebra $\mathcal H:=\mathcal H (\Gamma_t,\mathcal M_t)$ ist das Tensorprodukt ihrer $p$-primären Komponenten $\mathcal H_{p}:=\mathcal H(\Gamma_t,\bigcup_{k\in\mathbb{N}_0}M_t(p^k))$. Diese $p$-primären Komponenten sind Polynomringe über $\mathbb{Z}$ in $\Gamma_t \operatorname{diag}(1,1,p,p^2,p^2) \Gamma_t,\;\;\Gamma_t \operatorname{diag}(1,p,p,p,p^2) \Gamma_t\;$ und $\;\Gamma_t \operatorname{diag}(p,p,p,p,p) \Gamma_t$, welche algebraisch unabhängig sind.Es ist bekannt, dass die orthogonale Gruppe isomorph zur maximal-diskreten Erweiterung $\Sigma^*_t$ der paramodularen Gruppe $\Sigma_t$ von Grad 2 und Level $t$ ist. Wir übertragen dieses Ergebnis auf die Hecke-Algebra $\widehat{\mathcal H}$ zu $\Sigma_t$.Weiter ist $\Sigma_t$ isomorph zum Diskriminantenkern von $\Gamma_t$. Die entsprechende Hecke-Algebra ist nicht kommutativ, falls $t>1$.Allgemeiner betrachten wir die orthogonale Gruppe $O(2,n+2)$, $n\in\mathbb{N}$, und geben zunächst eine Beschreibung einer Fundamentalmenge der Operation auf dem orthogonalen Halbraum an. Für euklidische $S$, das heißt, für $S$, die einen euklidischen Algorithmus erlauben, erarbeiten wir ein Vertretersystem der Rechts- und Doppelnebenklassen der Ähnlichkeitsmatritzen. Für $\det(S)=1$ können wir sogar die genauen Klassenanzahlen berechnen. Im letzten Kapitel wenden wir uns Anwendungen auf Modulformen und Hecke-Operatoren für euklidische $S$ zu. Es lassen sich bekannte Schranken für Spitzenformen übertragen, die Eisensteinreihen bilden simultane Hecke-Eigenformen. Im Spezialfall $\det(S) = 1$, also insbesondere dem $E_8$ -Gitter, existiert ein Vertauschungsgesetz für den orthogonalen $\Phi$-Operator und den $T (p)$-Operator. Damit können wir zeigen, dass alle Hecke-Eigenformen des $T(p)$-Operatormit nicht verschwindendem nullten Fourier-Koeffizienten bereits Vielfache der Eisenstein-Reihen sind. Die Arbeit schließen wir mit dem Ergebnis ab, dass die $T(p)$-Operatoren in diesem Fall auch selbstadjungiert sind.

Let $t\in \mathbb{N}$ be squarefree and $S_t:=\left(\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \right) \bot \left(\begin{smallmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{smallmatrix} \right) \bot (-2t)$. We consider $M_t(m):=\{M\in\mathbb{Z}^{5\times 5}; M^{tr}S_tM=m^2S_t\}$, $\Gamma_t:=M_t(1)$ and $\mathcal M_t:=\bigcup_{m\in \mathbb{N}}M_t(m)$. The Hecke algebra $\mathcal H:=\mathcal H (\Gamma_t,\mathcal M_t)$ is the tensor product of its $p$-primary components $\mathcal H_{p}:=\mathcal H(\Gamma_t,\bigcup_{k\in\mathbb{N}_0}M_t(p^k))$. These $p$-primary components are polynomial rings over $\mathbb{Z}$ in $\Gamma_t \operatorname{diag}(1,1,p,p^2,p^2) \Gamma_t,\;\;\Gamma_t \operatorname{diag}(1,p,p,p,p^2) \Gamma_t\;$ and $\;\Gamma_t \operatorname{diag}(p,p,p,p,p) \Gamma_t$, which are algebraically independent.It is well known that the orthogonal group is isomorphic to the maximal discrete extension $\Sigma_t$ of the paramodular group of degree two and level $t$. We transfer this result to the Hecke algebra $\widehat{\mathcal H}$ for $\Sigma_t$.Furthermore, $\Sigma_t$ is isomorphic to the discriminant kernel of $\Gamma_t$. The corresponding Hecke algebra is not commutative if $t>1$.More generally, we consider the orthogonal group $O(2,n+2)$, $n\in\mathbb{N}$, and describe a fundamental set of its operation on the upper half space. For $S$ Euclidian, i.e. such $S$ which admit a kind of Euclidian algorithm, we descibe a system of representatives for the right and double cosets of the similarity matrices. We can calculate the number of classes if $\det(S)=1$.The last chapter deals with applications on modular forms and Hecke algebras in the case that $S$ is Euclidian. We transfer known boundaries for cusp forms. The Eisenstein series are simultaneous Hecke eigenforms. If $\det(S)=1$, in particular for the $E_8$ lattice, we provide a commutation theorem for the orthogonal $\Phi$-operator and the $T(p)$-operator. As a result, we show that all Hecke eigenforms of the $T(p)$-operator with non-vanishing zeroth Fourier coefficient are already multiples of Eisenstein series. We complete the thesis with the result that in this case the $T(p)$-operators are self-adjoint.

OpenAccess:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online

Sprache
German

Externe Identnummern
HBZ: HT019237333

Interne Identnummern
RWTH-2017-00778
Datensatz-ID: 682281

Beteiligte Länder
Germany

 GO


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Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
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110000
114110

 Record created 2017-01-18, last modified 2023-04-08