A mathematical approach to fractional trading : using the terminal wealth relative with discrete and continuous distributions

Hermes, Andreas; Zhu, Qiji Jim; Maier-Paape, Stanislaus

doi:HT019210326

A mathematical approach to fractional trading : using the terminal wealth relative with discrete and continuous distributions = Eine mathematische Herangehensweise an das Fractional Trading unter Verwendung des Terminal Wealth Relative mit diskreten und stetigen Verteilungen

Hermes, Andreas

2016 & 2017

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Andreas Hermes, Dipl.Math.

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (xi, 115 Seiten : Illustrationen, Diagramme)

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2017

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Maier-Paape, Stanislaus (Thesis advisor)^RWTH* ; Zhu, Qiji Jim (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-11-15

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-119764
DOI: 10.18154/RWTH-2016-11976
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/680776/files/680776.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/680776/files/680776.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
factional trading (frei) ; terminal wealth relative (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das "optimal f" Trading Modell für diskrete historische Trade Returns wurde von Ralph Vince [Vin90, Vin08, Vin09] als eine Optimierungsmethode für die "fixed fractional" Vermögensverwaltungsstrategie eingeführt. Dabei möchte ein Händler einen fixen prozentualen Anteil seines aktuellen Kapitals für zukünftige Investitionen verwenden. Da der prozentuale Anteil des aktuellen Kapitals fixiert ist, hängt die absolute Höhe des zu investierenden Kapitals für jeden Trade von den Ergebnissen vergangener Investitionen ab. Um einen optimalen Anteil für diese Strategie zu bestimmen, maximiert Vince den Terminal Wealth Relative (TWR), welcher auf einer diskreten Menge historischer Trade Returns definiert ist. Der TWR drückt für einen gegebenen Anteil f den Gewinn oder Verlust nach dem Auftreten der gegebenen historischen Trade Returns aus, wenn bei jedem Handel ein größter Verlust von einem Anteil f des aktuellen Kapitals riskiert wurde.In dieser Doktorarbeit werden der univariate und multivariate Terminal Wealth Relative analysiert und es werden Existenz- und Eindeutigkeitsbeweise für die Optimallösungen der Optimierungsprobleme für diskrete und stetige Settings gegeben.Die Arbeit ist aufgeteilt in 4 Bereiche. Der erste Bereich (Kapitel 2) rekapituliert das univariate (dh. basierend auf einem zugrundeliegenden Handelssystem) diskrete Modell und zitiert einen Existenz und Eindeutigkeitsbeweis für eine Optimallösung von Maier-Paape [MP13]. Der TWR wird, ähnlich zu dem Ansatz von Zhu [Zhu07], erweitert zu einer verallgemeinerten Version, welche auf stetigen Verteilungsfunktionen für die (historischen) Trades basiert. Die Existenz und die Eindeutigkeit einer Optimallösung für das Optimierungsproblem für diesen verallgemeinerten TWR wird bewiesen. Der Zusammenhang zwischen dem diskreten und dem stetigen Modell wird aufgestellt, was die Approximation der Optimallösung des stetigen Modells durch das diskrete Modell rechtfertigt. Kapitel 3 überträgt die Ergebnisse des letzten Kapitels auf eine risikoaverse Modifikation des univariaten stetigen Modells, welche eine Restriktion durch den maximalen Drawdown nutzt. Erneut wird die Verbindung zwischen dem diskreten und dem stetigen Ansatz mittels stochastischer Analysis dargestellt. Kapitel 4 und 5 decken die multivariaten Modelle ab, dh. der TWR wird hier basierend auf mehreren zugrundeliegenden Handelssystemen definiert. In Kapitel 4 wird die Existenz und Eindeutigkeit einer Optimallösung des Optimierungsploblems für den diskreten multivariaten TWR bewiesen, wohingegen der TWR in Kapitel 5 zu einer verallgemeinerten Version erweitert wird, welche auf stetigen Verteilungsfunktionen basiert. Dieses Modell wird mittels multidimensionaler Stieltjes integration eingeführt (siehe dazu [Pro12] und [Owe05]). Für dieses multivariate stetige Modell wird ebenfalls ein Existenz- und Eindeutigkeitsresultat bewiesen.

The "optimal f" trading model based on discrete historical trading returns was introduced by Ralph Vince [Vin90, Vin08, Vin09] as an optimization approach for the "fixed fractional" money management strategy. Here a trader wants to invest a fixed percentage of his current capital for future investments. Since the percentage of the current capital used per trade is fixed, the absolute height of the capital to invest for each new trade depends on the outcomes of past investments. To determine an optimal fraction for this strategy, Vince maximizes the Terminal Wealth Relative (TWR) defined on a discrete set of historical trading returns. The TWR for a given fraction f represents the gain or loss obtained after the occurrence of the given historical trade returns when risking a biggest loss of a percentage of f of the current capital per trade.In this thesis the univariate and multivariate TerminalWealth Relative are analyzed and existence and uniqueness proofs for the optimal solutions of the optimization problems for discrete and continuous settings are given.The thesis is split into four parts. The first part (Chapter 2) recapitulates the univariate (i.e. based on one underlying trading system) discrete model and cites an existence and uniqueness proof of an optimal solution by Maier-Paape [MP13]. The TWR is extended to a generalized version based on continuous distribution functions for the (historical) trades similar to the approach of Zhu [Zhu07]. The existence and uniqueness of an optimal solution for the optimization problem for this extended TWR is proved. The connection between the discrete and the continuous models is established, justifying the approximation of the optimal solution of the continuous model by using the discrete model. Chapter 3 transfers the results from the previous chapter to a risk-averse modification of the univariate continuous model using a constraint for the Deepest Drawdown. Again the connection between the discrete and the continuous approach is demonstrated using stochastic calculus. Chapters 4 and 5 cover the multivariate models, i.e. the TWR is defined based on several underlying trading systems. In Chapter 4 the existence and uniqueness of an optimal solution of the optimization problem for the discrete multivariate TWR is proved, whereas Chapter 5 extends the TWR to a generalized version based on continuous distribution functions. This model is introduced using multidimensional Stieltjes integration (cf. [Pro12] and [Owe05]). An existence and uniqueness result is proved for this multivariate continuous model as well.

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