Stochastics meets applied analysis : stochastic Ginzburg-Landau vortices and stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert equation

Chugreeva, Olga; Westdickenberg, Maria Gabrielle; Melcher, Christof Erich

doi:HT019221635

Stochastics meets applied analysis : stochastic Ginzburg-Landau vortices and stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert equation = Stochastik trifft angewandte Analysis : stochastische Ginzburg-Landau Wirbel und stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung

Chugreeva, Olga^RWTH*

2016 & 2017

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Olga Chugreeva, Spezialistin in Mathematik

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (xii,130 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2017

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Melcher, Christof Erich (Thesis advisor) ; Westdickenberg, Maria Gabrielle (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-11-04

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-114797
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/679916/files/679916.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/679916/files/679916.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert Equation (frei) ; Ginzburg-Landau equation (frei) ; stochastic Ginzburg-Landau vortices (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit gehört zu den Gebieten angewandte Analysis und stochastische partielle Differentialgleichungen. Wir untersuchen stochastische Versionen von zwei bekannten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, der Landau-Lifshitz-Gilbert und der Ginzburg-Landau Gleichung.Die ursprünglichen deterministischen Gleichungen haben viele formale Gemeinsamkeiten und werden verwendet, um ähnliche physikalische Phänomene zu beschreiben. Wir betrachten die gemischte Ginzburg-Landau Gleichung als eine “light version” der Landau- Lifshitz-Gilbert Gleichung. Die Gleichungen verhalten sich jedoch schon im deterministischen Fall hinsichtlich der Wohlgestelltheit sehr unterschiedlich. Die Ginzburg-Landau Gleichung hat eine eindeutige reguläre globale Lösung, während für die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung eine reguläre Lösung nur lokal in der Zeit existiert, und schwache Lösun- gen nicht eindeutig sind. Wegen dieses Unterschiedes in den analytischen Eigenschaften sind die Fragen, die wir für diese zwei Gleichungen im stochastischen Fall untersuchen ebenfalls sehr unterschiedlich.Für die stochastische Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung stellt schon die Wohlgestelltheit ein anspruchsvolles Problem dar. Bekannte Techniken liefern eine Lösung, die nicht eindeutig und sowohl analytisch als auch stochastisch schwach ist. In Kapitel 2 setzen wir uns gleichzeitig mit der Uneindeutigkeit der Lösung und der Art der stochastischen Lösbarkeit auseinander. Wir schlagen eine Regularisierung der stochastischen Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung vor, die auch aus physikalischer Sicht sinnvoll ist. Wir zeigen, dass die Lösung der regularisierten Gleichung im stochastisch starkem Sinn existiert und eindeutig ist. Wir konstruieren zuerst eine stochastisch schwache Lösung und zeigen danach, dass diese in stochastisch starkem Sinn eindeutig ist. Dies impliziert die Existenz einer stochastisch starken Lösung.Für die Ginzburg-Landau Gleichung befassen wir uns mit einer spezielleren Frage, nämlich mit der Dynamik der Punktsingularitäten (Wirbel) der Lösung unter dem Einfluss einer zufälligen äußeren Kraft. Unseres Wissens sind wir die ersten die dieses Thema untersuchen. Als Vorbereitung betrachten wir in Kapitel 3 die gemischte Ginzburg-Landau Gleichung mit der deterministischen äußeren Kraft in Form einer konvektiven Ableitung. Für diese Gleichung leiten wir die effektive Bewegungsgleichung der Wirbel her. Die üblichen Methoden, die für Gleichungen vom Ginzburg-Landau Typ entwickelt wurden reichen dafür aus. Somit stellen wir sicher, dass eine äußere Kraft in Form einer konvektiven Ableitung die effektive Bewegungsgleichung beeinflusst, aber nicht zerstört.In Kapitel 4 untersuchen wir die stochastische parabolische Ginzburg-Landau Gleichung mit einem multiplikativen Rauschen, welches wieder die Form einer konvektiven Ableitung hat. Für diese Gleichung weisen wir die Existenz und Eindeutigkeit einer stochastisch starken regulären Lösung nach. Unsere größten Bemühungen sind der Beschreibung von Wirbeln der Lösung gewidmet. Dafür müssen wir zunächst die richtigen stochastischen Varianten von Werkzeugen, die für diese Zwecke in der deterministischen Situation verwendet werden, finden. Unser Hauptergebnis bezieht sich auf die Jacobi Determinanten der Lösung. Wir zeigen, dass die Jacobi Determinanten straff sind und diese die Wirbel korrekt beschreiben, wie es in dem deterministischen Fall auch war. Zusätzlich betrachten wir zwei Speziallfälle. Für verschwindendes Rauschen zeigen wir, dass die reskalierten Energiedichten auf einem gewissen Raum von zeitabhängigen Funktionen straff sind. Die Menge der Grenzwerte entspricht eher den Bahnen der Wirbel als deren Positionen zu einem festen Zeitpunkt. Für räumlich uniformes Rauschen leiten wir die effektive Bewegungsgleichung, die durch ein System stochastischer Differentialgleichungen gegeben ist, her.

AbstractThis work belongs to the fields of applied analysis and stochastic partial differential equations. We study stochastic versions of two well-known nonlinear partial differential equations, the Landau-Lifshitz-Gilbert and the Ginzburg-Landau equation.The deterministic prototypes of our equations have many formal features in common and are used to describe similar physical phenomena. We see the mixed Ginzburg-Landau equation as the “light version” of the Landau-Lifshitz-Gilbert equation. However, already in the deterministic setting, the two equations are very different in terms of the well- posedness. The Ginzburg-Landau equation has a unique regular global in time solution. For the Landau-Lifshitz-Gilbert equation, a regular solution exists only locally in time, and weak solutions are not unique. This difference is related to the fact that the Ginzburg- Landau equation is semilinear, and the Landau-Lifshitz-Gilbert is only quasilinear. Due to the difference in the analytic properties, the questions that we address for the two equations in the stochastic framework are also very different.For the stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert equation, already well-posedness is a challenging problem. The known techniques yield a solution that is not unique and both analytically and stochastically weak. In Chapter 2, we deal at the same time with the non-uniquness of solution and the stochastic sense of solvability. We propose a regular- ization of the stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert equation that is admissible from the physical point of view. We show that the solution of the regularized equation exists in the stochastically strong sense and is unique. This follows from an argu- ment of the Yamada-Watanabe type: For S(P)DE, solvability in the stochastically weak sense and uniqueness in the stochastically strong sense implies solvability in the stochasti- cally strong sense. Accordingly, we first construct a stochastically weak solution and then show that it is unique in the stochastically strong sense.For the Ginzburg-Landau equation, we focus on a more particular question. We are interested in the dynamics of the point singularities of the solution in the presence of random forcing. To the best of our knowledge, we are the first to investigate this topic. As a preparation, we consider in Chapter 3 the mixed Ginzburg-Landau equation with deterministic forcing of convective form. For this equation, we derive the effective motion law. The standard toolbox developed for equations of Ginzburg-Landau type suffices at that point. This way, we make sure that the convective forcing impacts the effective dynamics but does not destroy it.In Chapter 4, we study the stochastic parabolic Ginzburg-Landau equation with a multiplicative noise. The noise is again of the convective form. For this equation, existence and uniqueness of a stochastically strong regular solution is obtained rather easily. Our main effort is therefore devoted to the description of the point singularities of the solution. This amounts to finding the correct stochastic counterparts of the tools used for this purpose in the deterministic setting. Consequently, our main result concerns the Jacobians of the solution. We prove that the Jacobians are tight and do correctly locate the set of point singularities, as in the deterministic case. In addition, we consider two special cases. For the vanishing noise, we show that the rescaled energy densities are tight on a space of time-dependent functions. Their limit set corresponds to the trajectories of the point singularities rather than to their positions at fixed time. For a spatially uniform noise, we establish the effective motion law, which is given by a system of stochastic differential equations.

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