The XFEM for hydraulic fracture mechanics

Weber, Nikolai; Behr, Marek; Fries, Thomas-Peter

doi:urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-110620

The XFEM for hydraulic fracture mechanics = Die XFEM für die hydraulische Bruchmechanik

Weber, Nikolai

2016 & 2017

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Nikolai Weber

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (xv, 131 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2017

Genehmigende Fakultät
Fak04

Hauptberichter/Gutachter
Behr, Marek (Thesis advisor)^RWTH* ; Fries, Thomas-Peter (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-11-25

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-110620
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/679277/files/679277.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/679277/files/679277.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Lehrstuhl für Computergestützte Analyse technischer Systeme (416010)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
XFEM (frei) ; hydraulic fracturing (frei) ; crack description (frei) ; manifolds (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 620

Kurzfassung
Das Ziel dieser Arbeit ist die numerische Behandlung des hydraulischen Bruchprozesses auf der Grundlage der erweiterten Finite Elemente Methode (XFEM). Drei wesentliche physikalische Phänomene werden hier betrachtet: eine viskose Flüssigkeit fließt in einen bestehenden Riss, der Riss breitet sich aufgrund des Fluiddrucks aus und es erfolgt eine Verformung des Körpers durch interne und externe Lasten. Die XFEM berücksichtigt die Sprünge im Verschiebungsfeld über die Rissoberfläche, welche numerisch als Diskontinuität interpretiert wird. Dies wird durch eine lokale Anreicherung des Approximationsraumes mit diskontinuierlichen (vorzeichenbehafteten) Funktionen erreicht. Das singuläre Verhalten an der Rissspitze wird durch Einbeziehen von vier Rissspitzen-Anreicherungsfunktionen erfasst. Somit ist eine Ausrichtung des Risses mit den Elementkanten des Finite Elemente Netzes nicht erforderlich und eine Neuvernetzung aufgrund der Rissausbreitung daher nicht notwendig. In dieser Arbeit wird eine hybride Rissbeschreibung verwendet, um die Anreicherungen korrekt abzubilden und umdas Risswachstum durchzuführen. Zunächst wird ein Level-Set Verfahren mit drei Level-Set Funktionen verwendet, um den Riss implizit zu beschreiben. Dadurch kann der zu anreichernde Bereich lokalisiert werden und die Level-Set Funktionen werden unmittelbar verwendet, um die Anreicherungen zu auszuwerten. Darüber hinaus kann ein lokales Koordinatensystem an der Rissspitze auf der Grundlage der impliziten Beschreibung formuliert werden. Des Weiteren wird eine explizite Beschreibung des Risses auf der Basis eines Dreiecksnetzes verwendet. Die Fortschreibung des Risses wird dann durch das Hinzufügen zusätzlicher Elemente an diejenigen Stellen des bestehenden Gitters realisiert, wo Risswachstum tatsächlich stattfindet. Obwohl die Rissfront eine sich bewegende Grenze darstellt, kann die genaue Lage der Rissfront während der gesamten Simulation leicht verfolgt werden. Beide Rissbeschreibungen können leicht ineinander umgewandelt werden und ergänzen sich daher sehr gut. Die Vorteile beider Beschreibungen, die Auswertung der Anreicherungsfunktionen mit dem impliziten und die Rissaktualisierung mit dem expliziten Ansatz, können gleichzeitig verwendet werden. Die dem Fluid zugrundeliegende partielle Differentialgleichung, welche auf der Rissfläche definiert ist, wird mit einer Finite Elemente Methode auf Dreieckselementen beschrieben. Zusätzlich wird das Netz lokal um die Rissfront verfeinert, um die an dieser Stelle vorherrschenden steilen Gradienten in dem Druckfeld zu erfassen. Die Finite Elemente Formulierung ist für den Fall von beliebig gekrümmten Rissen erweitert. Ein lokales Koordinatensystem auf der Oberfläche des Risses wird eingeführt, um die Fluidströmungsgleichungen angemessen zu transformieren und integrieren. Dieser Ansatz ist für Transportgleichungen auf gekrümmtenOberflächen umgesetzt und verifiziert. Die Grundgleichungen sind iterativ gekoppelt und gewährleisten die Flexibilität, dass jeder Modellteil unabhängig voneinander behandelt werden kann. Die gekoppelten Gleichungen werden an jedem Rissausbreitungsschritt gelöst, so dass der Riss bei Erfüllung des Rissfortschrittskriteriums aktualisiert wird. Wenn die Fluidfront die Rissfront nicht erreicht und sich eine Kavität an der Rissfront bildet, werden beide Fronten getrennt berücksichtigt. In diesem Fall bewegt sich die Flüssigkeitsfront solange vorwärtsbis das Rissfortschrittskriterium erfüllt ist. Dann erst wird ein neuer Risswachstumsschritt durchgeführt. Diese Arbeit stellt einen voll gekoppelten Modellierungsansatz vor, der beliebiges Risswachstum im dreidimensionalen Raum ermöglicht. Ein weiterer Fokus liegt auf der Behandlung von Transportgleichungen auf Mannigfaltigkeiten und der damit einhergehenden fluid-induzierten Rissausbreitung.Das gekoppelte Problem wird gegen vereinfachte analytische Lösungen und gegen experimentelle Ergebnisse, die durchs Spalten von Gesteinsproben der Größe 30 × 30 × 45 cm³ gewonnen wurden, verifiziert. Unter der Annahme eines initialen münzförmigen Risses konzentriert sich die Überprüfung auf die Druckkurve für den Bereich des Druckaufbaus und der Ausbreitungsphase. Da keine zufriedenstellende Übereinstimmung in der Druckkurve nahe des Druckmaximums erreicht wird, wurde das Modell um einen zusätzlichen Term erweitert, derdie nichtlinearen Effekte des Systems aufgrund der Kompressibilität erfasst. Die mit diesem Ansatz gewonnenen Simulationsergebnisse stimmen sehr gut mit den experimentellen Ergebnissen überein.

The aim of this thesis is the numerical treatment of the hydraulic fracturing process based on the extended finite element method (XFEM). Three main physical phenomena are considered: a viscous fluid flows into an existing crack, the crack propagation due to the fluid pressurization, and solid deformation due to internal and external loads. The XFEM accurately accounts for the displacement jumps across the crack surface which is numerically interpreted as a discontinuity. This is achieved by locally enriching the approximation space with discontinuousfunctions such as the sign function. The singular behavior at the crack tip is captured by adding four tip-enrichment functions. Thus, the crack is not required to align with the element edges of the finite element mesh and no remeshing is necessary for crack propagation. A twofold crack description is utilized to properly incorporate the enrichments and to perform the crack update. First, a level-set method with three level-set functions is used to describe the crack implicitly. Thereby, the enriched location can be determined and the level-set functions aredirectly used to evaluate the enrichments. Moreover, a local coordinate system at the crack tip can be formulated based on the implicit description. Second, an explicit crack description is used on the basis of a triangular mesh. The crack update is then performed by adding additional elements to the existing mesh at those crack front locations where propagation takes place. Since the crack front represents a moving boundary, its location is easily tracked as the exact crack front position is given throughout the whole simulation. Since both descriptions are easily transformed into each other, they complement one another extremely well. This combines the advantages of the evaluation of the enrichment functions with the implicit and the crack update with the explicit description. The fluid flow equations on the crack surface are described using a finite element method on triangular meshes. additionally, the mesh is locally refined in the crack front region in order to accurately capture the steep gradient in the pressure field. The finite element formulation is extended to the case of arbitrarily curved cracks. A local coordinate system on the surface is introduced in order to properly transform and integrate the fluid flow equations. This approach is implemented and verified for transport equations on curved surfaces. The governing equations are coupled iteratively and, therefore, maintain the flexibility of treating each model part independently. At each propagation step, the coupled equations are solved such that the propagation condition is met and the crack is updated. When the fluid front does not reach the crack front, both fronts are tracked separately. In this case, the fluid front moves forward until the propagation condition is satisfied and then a new propagation step can be performed. This thesis presents a fully coupled modeling approach that allows arbitrary crack growth in three-dimensional space. Another focus is on the treatment of transport equations on manifolds and the associated fluid-induced crack propagation. The coupled problem is verified against simplified analytical solutions and against experimental results that were obtained from fracturing rock samples of the size 30 × 30 × 45 cm³. An initial penny-shaped crack is assumed and the verification focuses on the pressure response for the pressure buildup and propagation phase. Since no satisfying agreement in the pressure curve close to the breakdown pressure is achieved, the fluid flow model is extended to capture the non-linear effects of the system due to the compressibility. The simulation results obtainedwith this approach agree well with the experimental results.

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