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Analyse und asymptotische Analyse von Kompartimentsystemen = Analysis and asymptotic analysis of compartmental systems



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christian Lax, M. Sc.

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (xi, 268 Seiten) : Illustrationen, Diagramme


Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
;

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-10-13

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-094653
DOI: 10.18154/RWTH-2016-09465
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/674472/files/674472.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/674472/files/674472.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

  1. Lehrstuhl A für Mathematik (114110)
  2. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
singular perturbation (frei) ; reaction diffusion systems (frei) ; reduction (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Dissertation werden Ergebnisse zu singulär gestörten Systemen von Differentialgleichungen erbracht. Das vorrangige Ziel ist die Berechnung von asymptotischen Reduktionen, sogenannten Tikhonov-Fenichel-Reduktionen, die bei der Analyse der gestörten Systeme helfen und auf den klassischen Arbeiten von Tikhonov und Fenichel basieren.Die Arbeit besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil behandelt autonome gewöhnliche Differentialgleichungen und besitzt einen klaren Schwerpunkt in der Modellierung chemischer Reaktionen unter gewissen Quasistationaritätsannahmen. Aufgrund dieser Fokussierung beziehen sich die Resultate vor allem auf rationale und polynomiale Systeme. Aufbauend auf den Doktorarbeiten von Lena Nöthen und Alexandra Goeke werden drei Hauptergebnisse erzielt: Erstens kann der Satz von Hoppensteadt auf Systeme (von gewöhnlichen Differentialgleichungen) übertragen werden, die nicht in Tikhonov-Normalform sind. Außerdem werden die Voraussetzungen des Satzes so umformuliert, dass eine bessere Überprüfbarkeit dieser möglich ist. Zweitens gelingt der Nachweis der Existenz und die Berechnung von Tikhonov-Fenichel-Reduktionen für alle chemischen Reaktionsnetzwerke, für die eine Unterteilung der Reaktionen in schnelle und langsame existiert und der schnelle Anteil aus schwach reversiblen Reaktionen 1. Ordnung besteht. Drittens werden Tikhonov-Fenichel-Reduktionen von Kompartimentsystemen untersucht. Kompartimentsysteme bestehen aus Subsystemen, in denen verschiedene Materialien oder Akteure interagieren und die durch Transport miteinander verbunden sind. Es stellt sich heraus, dass man sich bei der Berechnung der Reduktion von Kompartimentsystemen auf die Subsysteme zurückziehen kann, was eine deutliche Vereinfachung darstellt. Der zweite Teil der Arbeit behandelt asymptotische Reduktionen von Reaktions-Diffusionssystemen. Da der Satz von Tikhonov nur für gewöhnliche Differentialgleichungen gültig ist und kein vergleichbarer Satz für partielle Differentialgleichungen existiert, ist das vornehmliche Ziel die nichttriviale Beantwortung der Frage, wie man einen passenden Kandidaten für eine Reduktion eines Reaktions-Diffusionssystems finden und berechnen kann. Dies gelingt durch eine örtliche Diskretisierung des Reaktions-Diffusionssystems, die eine Rückführung auf die Reduktion von gewöhnlichen Differentialgleichungen (genauer: Kompartimentsystemen) ermöglicht. Der Kandidat wird dabei durch verschiedene Ergebnisse gestützt: So wird gezeigt, dass im gewissen Sinne der von uns vorgeschlagene Reduktionskandidat der einzige sinnvolle Kandidat ist. Darüber hinaus kann für jene Reaktions-Diffusionssysteme ein Konvergenzergebnis erzielt werden, für die die Reaktion von 1. Ordnung ist und der schnelle Anteil dem Prinzip des detaillierten Gleichgewichts genügt. Zuletzt werden Reduktionskandidaten für verschiedene Beispiele berechnet. Dabei stellt sich heraus, dass sich die Resultate mit bestehenden Konvergenzergebnissen aus der Literatur und Ergebnissen selbst durchgeführter numerischer Simulationen decken.

This thesis deals with singularly disturbed systems of differential equations. The primary goal is the computation of asymptotic reductions which help with the analysis of those systems. The reductions are based on the classical theories by Tikhonov and Fenichel and thus are referred to as Tikhonov-Fenichel reductions.The thesis consists of two parts. The first part discusses autonomous ODEs and focuses on modelling chemical reactions subjected to quasi steady state assumptions.Therefore, most of the results refer to rational or polynomial systems. Building on the work of Lena Nöthen and Alexandra Goeke, three main results are proven: First of all, Hoppensteadt's theorem can be generalized to systems which are not in Tikhonov normal form. Moreover, a reformulation of the assumptions of the theorem helps to gain a better applicability. Secondly, we can compute Tikhonov-Fenichel reductions for all chemical reaction networks which can be divided into slow and fast reactions, as long as the fast part consists of weakly reversible reactions of first order. The third result refers to compartmental systems, i.e. systems that are governed by transport between subsystems and interaction within these subsystems. It turns out that Tikhonov-Fenichel reductions of those systems can be derived from the individual interaction terms alone.The second part of the thesis discusses asymptotic reductions of reaction diffusion systems. As there is no counterpart to Tikhonov's theorem in infinite dimensions, the main goal is finding and computing explicit reductions of reaction diffusion systems (without giving general convergence results). We do this by considering spatially discretized reaction-diffusion systems as compartmental systems. Our method is backed by various results: First and foremost, we show the consistency of the proposed reduction. Furthermore, a convergence result is proved for reaction diffusion systems for which every reaction is of first order and the fast part satisfies the principle of detailed balance. Lastly, we discuss some examples of which the Michaelis-Menten reaction is the most prominent one. We compare our heuristical reduction of these examples to known results in the literature and discuss systems where no previous results seem to be known. In the latter case, numerical simulations exhibit nice convergence properties.

OpenAccess:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online

Sprache
German

Externe Identnummern
HBZ: HT019166619

Interne Identnummern
RWTH-2016-09465
Datensatz-ID: 674472

Beteiligte Länder
Germany

 GO


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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
114110

 Record created 2016-11-14, last modified 2023-04-08