Certified reduced basis methods for parametrized PDE-constrained optimization problems

Kärcher, Mark; Grepl, Martin Alexander; Volkwein, Stefan; Reusken, Arnold

doi:HT019122777

Certified reduced basis methods for parametrized PDE-constrained optimization problems = Reduzierte-Basis-Methoden für parametrisierte Optimierungsprobleme mit PDG-Nebenbedingungen

Kärcher, Mark

2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Diplom-Mathematiker Mark Daniel Kärcher

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (iii, 125 Seiten) : Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Grepl, Martin Alexander (Thesis advisor)^RWTH* ; Volkwein, Stefan (Thesis advisor) ; Reusken, Arnold (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-09-22

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-080026
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/671092/files/671092.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/671092/files/671092.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Modellreduktion (frei) ; Reduzierte-Basis-Methode (frei) ; A Posteriori Fehlerschranken (frei) ; optimale Regelung (frei) ; parameterabhängige Systeme (frei) ; partielle Differentialgleichungen (frei) ; model order reduction (frei) ; reduced basis method (frei) ; a posteriori error bounds (frei) ; optimal control (frei) ; PDE-constrained optimization (frei) ; parameter-dependent systems (frei) ; partial differential equations (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Wir präsentieren einen Ansatz für die effiziente und zuverlässige Lösung von parametrisierten Optimierungsproblemen mit partiellen Differentialgleichungen (PDG) als Nebenbedingung. Diese Probleme treten auf, wenn man durch PDG beschriebene Systeme auf ein gewünschtes Verhalten hin optimiert. Üblicherweise ist die numerische Lösung dieser Optimierungsprobleme sehr rechenaufwendig, insbesondere wenn man an Lösungen für verschiedene Parameter interessiert ist. Die Reduzierte-Basis-Methode ist eine Technik zur parametrischen Modellreduktion, die sowohl effiziente als auch stabile Näherungslösungen ermöglicht. Zudem liefert sie rigorose Fehlerschranken und ist für viele parametrisierte PDGs elliptischer und parabolischer Natur etabliert. In der vorliegenden Arbeit erweitern wir die Reduzierte-Basis-Methode auf parametrisierte Optimierungsprobleme mit PDG-Nebenbedingungen. Diese Optimierungsprobleme können Parameter in der PDG-Nebenbedingung selbst, aber auch im Zielfunktional (z.B. im gewünschten Zustand oder im Regularisierungsparameter) enthalten. Wir betrachten sowohl elliptische und parabolische Probleme, als auch endlichdimensionale und verteilte Kontrollen. Unsere Methode ist vollständig online-effizient: Sowohl die Online-Berechnungskosten für die Reduzierte-Basis-Approximation als auch die zugehörigen Fehlerschranken sind unabhängig von der hohen Dimension der ursprünglichen Finite-Elemente-Approximation. Stattdessen, hängen sie nur von der Dimension des Reduzierte-Basis-Raums ab. Unsere Approximation verwendet einen gemeinsamen Reduzierte-Basis-Raum für die Zustandsvariable und die adjungierte Variable. Indem wir die Lösungen der Zustandsvariable und der adjungierten Variable in einem einzelnen Reduzierte-Basis-Raum zusammenfassen, garantieren wir sowohl die Konsistenz der Approximationen, als auch die Stabilität des reduzierten Modells. Zusätzlich diskutieren wir eine Reduktion des Kontrollraums für verteilte Kontrollen. Schwerpunkt dieser Arbeit ist die Herleitung von effizient berechenbaren und rigorosen A-Posteriori-Fehlerschätzern für verschiedene Zielgrößen. Hierzu präsentieren wir zwei Ansätze: Während der erste Ansatz auf einem Perturbationsargument basiert, wird die zweite Schranke direkt aus den Fehler-Residuen-Gleichungen des Optimalitätssystem hergeleitet. Beide Ansätze liefern Schranken für die Fehler in der optimalen Kontrolle, im optimalen Wert des Kostenfunktionals, und im optimalen Zustand und der Adjungierten. Durch die Einführung eines dualen Problems ist es zudem möglich, den Fehler beliebiger Ausgangsfunktionale zu beschränken, die linear vom Zustand, der Adjungierten und der Kontrollvariable abhängen. Jede der von uns präsentierten Schranken ist vollständig offline-online-separabel und kann daher effizient ausgewertet werden. Dies ermöglicht es unseren Ansatz auch bei vielen Parameterauswertungen oder Echtzeitberechnungen anzuwenden. Insbesondere benötigen unsere Schranken lediglich Konstanten (bzw. obere / untere Schranken davon), die mit wenig Aufwand berechnet werden können. Wir präsentieren numerische Ergebnisse für verschiedene parametrisierte Optimierungsprobleme mit PDG-Nebenbedingungen, um die Effektivität unseres Ansatzes zu veranschaulichen.

We present a new reduced basis approach for the efficient and reliable solution of parametrized PDE-constrained optimization problems. This kind of problems arise when a system modeled by PDEs is optimized in order to achieve a desired behavior. Typically, the numerical solution of these optimization problems is challenging in terms of required computational cost, in particular if one is interested in multiple solutions for different parameter values. The reduced basis method is a technique for parametric model order reduction, which provides both efficient and computationally stable approximations. It further provides rigorous error bounds and is well established for a large class of parametrized PDEs of elliptic and parabolic nature. In this thesis, we extend the reduced basis methodology to parametrized PDE-constrained optimization problems. These optimization problems may contain parameters in the PDE constraint itself, as well as in the objective function (such as the desired state or regularization parameter). We consider both elliptic and parabolic problems, as well as finite-dimensional and distributed controls. Our approach is completely online-efficient: The online computational cost for the reduced basis approximation and the associated error bounds depends only on the dimension of the reduced basis space. It is independent of the original high-dimensional finite element approximation. Our approximation is based on a reduced basis space for the state and the adjoint variables. By integrating state and adjoint snapshots into a single reduced basis space, we ensure both a consistent approximation and the stability of the reduced model. In addition, we propose a reduction of the control space for distributed controls. The focus of this thesis is to derive efficiently computable and rigorous a posteriori error bounds for various quantities of interest. To this end, we present two approaches: The first approach is based on a perturbation argument, whereas the second bound is directly derived from the error residual equations of the optimality system. Both approaches yield bounds for the errors in the optimal control, in the optimal value of the cost functional, and in the optimal state and adjoint variables. More generally, by introducing an additional dual problem, it is possible to bound the error of arbitrary linear output functionals depending on the state, adjoint, and control variables. All of the proposed bounds are completely offline-online separable and hence can be evaluated efficiently. This makes our approach relevant in the many-query or real-time context. In particular, the bounds involve only constants (or their upper/lower bounds), which can be computed with low effort. We present numerical results for various parametrized PDE-constrained optimization problems to demonstrate the effectiveness of the proposed method.

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