Hecke operators for algebraic modular forms

Schönnenbeck, Sebastian; Hiß, Gerhard; Hartmann, Julia; Nebe, Gabriele

doi:35499

Hecke operators for algebraic modular forms = Heckeoperatoren für algebraische Modulformen

Schönnenbeck, Sebastian

2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Sebastian Schönnenbeck, M.Sc.

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (173 Seiten) : Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor) ; Hartmann, Julia (Thesis advisor) ; Hiß, Gerhard (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-09-08

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-067338
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/668389/files/668389.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/668389/files/668389.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
hecke algebras (frei) ; modular forms (frei) ; algorithmic number theory (frei) ; automorphic forms (frei) ; linear algebraic groups (frei) ; affine buildings (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 004

Kurzfassung
Es sei $k$ ein total reeller Zahlkörper, $\hat{k}$ der zugehörige Ring der endlichen Adele und $\mathbb{G}$ eine zusammenhängende, halbeinfache, linear algebraische Gruppe über $k$ mit der Eigenschaft, dass $\mathbb{G}(k \otimes \mathbb{R})$ kompakt ist. Im Jahr 1999 stellte Benedict H. Gross fest, dass es in dieser Situation möglich ist, eine Theorie automorpher Formen für $\mathbb{G}$ auf gänzlich algebraischem Wege aufzubauen. Dies führte zu dem Begriff der algebraischen Modulformen.Der Raum der algebraischen Modulformen, welcher von einer offenen, kompakten Untergruppe $K$ von $\mathbb{G}(\hat{k})$ (dem sogenannten Level) und einer irreduziblen Darstellung von $\mathbb{G}(k)$ (dem sogenannten Gewicht) abhängt, ist stets endlich-dimensional und gestattet eine natürliche Operation der Heckealgebra $\mathbb{G}(\hat{k})$ bezüglich $K$. Eines der Hauptprobleme ist nun, diese Operation in gegebenen Beispielen explizit zu bestimmen. Zu Beginn dieser Arbeit wiederholen wir die Theorie ganzer Formen algebraischer Gruppen sowie die Grundlagen der Theorie algebraischer Modulformen und Heckealgebren. Ausserdem beschreiben wir den klassischen algorithmischen Ansatz, um die Operation der Heckealgebra zu bestimmen. Dieser besteht im Zerlegen gewisser $K$-Doppelnebenklassen in Rechtsnebenklassen. Im Anschluss führen wir Verschränkungsoperatoren (im Originaltext "intertwining operators") und Eichlerelemente ein und untersuchen ihr Verhalten. Diese Operatoren sind häufig mit weitaus weniger Aufwand zu berechnen als im klassischen Ansatz und erlauben es, zwei Heckeoperatoren auf einmal zu bestimmen, indem die Adjazenzrelation im euklidischen Gebäude von $\mathbb{G}$ ausgenutzt wird. Die Unteralgebra von $H_K$, welche von den Eichlerelementen erzeugt wird, bezeichnen wir als Eichleralgebra und beweisen, dass es sich für einfach zusammenhängendes $\mathbb{G}$ bei dieser stets um einen Polynomring handelt. Darüber hinaus untersuchen wir, in welchen Fällen die Eichleralgebra bereits mit der vollen Heckealgebra übereinstimmt, also in welchen Fällen die Eichlerelemente die Heckealgebra erzeugen.Zusätzlich zu diesen theoretischen Überlegungen haben wir alle präsentierten Algorithmen für $G_2$ sowie für kompakte Formen symplektischer Gruppen implementiert. Wir beschreiben den nötigen theoretischen Hintergrund bezüglich dieser Gruppen und geben einen Überblick über das Potential unserer Implementierung.Unsere expliziten Berechnungen zu $G_2$ und $\mathrm{Sp}_6$ können genutzt werden, um nach sogenannten Lifts algebraischer Modulformen zu suchen. Wir beschreiben die nötigen Ergebnisse zum Satake-Homomorphismus, bestimmen sein Bild in diesem spezifischen Beispiel, untersuchen, wie mögliche Lifts aussehen sollten und finden einige Beispiele algebraischer Modulformen, welche Lifts zu sein scheinen. Zum Abschluss präsentieren wir alternative Anwendungen unserer Algorithmen auf das Studium $S$-arithmetischer Untergruppen. Namentlich berechnen wir eine freie Auflösung der ganzen Zahlen vermöge der Operation der Gruppe auf dem euklidischen Gebäude und bestimmen eine endliche Menge von Erzeugern zusammen mit einem System definierender Relationen.

Let $k$ be a totally real algebraic number field with ring of finite adeles $\hat{k}$ and $\mathbb{G}$ a connected, semisimple, linear algebraic group over $k$ such that $\mathbb{G}(k \otimes \mathbb{R})$ is compact. In 1999 Benedict H. Gross noticed that in this situation one can set up a theory of automorphic forms for $\mathbb{G}$ in an entirely algebraic way, which led to the notion of algebraic modular forms. The space of algebraic modular forms, which depends on an open compact subgroup $K$ of $\mathbb{G}(\hat{k})$ (the so-called level) and an irreducible representation $V$ of $\mathbb{G}(k)$ (the so-called weight), is always finite-dimensional and comes equipped with an action of the Hecke algebra of $\mathbb{G}(\hat{k})$ with respect to $K$. One of the primary goals in the field is to compute this action explicitly in given examples.In this thesis we start by reviewing the theory of integral forms of algebraic groups as well as basics of algebraic modular forms and Hecke algebras. Furthermore we describe the classical algorithmic approach to computing the action of Hecke operators by decomposing certain double cosets with respect to $K$ into right cosets. Afterwards we introduce intertwining operators and Eichler elements and study their behaviour. These operators are often computable with significantly less effort than in the standard approach and allow the computation of two Hecke operators at once by leveraging the adjacency relation of the Euclidean building of $\mathbb{G}$. We call the subalgebra of $H_K$ that is generated by the different Eichler elements the Eichler subalgebra and prove that for simply-connected $\mathbb{G}$ it is necessarily a polynomial ring. Moreover we investigate in which cases the Eichler subalgebra already coincides with the full Hecke algebra, i.e. in which cases the Eichler elements already generate $H_K$.In addition to these theoretical considerations we implemented the presented algorithms for the algebraic group $G_2$ and for compact forms of symplectic groups. We present the necessary theoretical background on these groups and give an overview of the capabilities of our implementation.Our explicit computations for $G_2$ and $\mathrm{Sp}_6$ can be used to check for the existence of so-called lifts of algebraic modular forms. We describe the necessary background on the Satake homomorphism, compute its image in the specific example at hand, determine what possible lifts should look like, and find some modular forms which appear to be lifts.Finally we present some alternative uses of our algorithms to the study of $S$-arithmetic subgroups. Namely we compute a free resolution of the integers via the action on the Euclidean building and determine a finite set of generators together with a system of defining relations.

OpenAccess:
PDF PDF (PDFA)
(additional files)