Orthogonal representations of finite groups

Braun, Oliver; Hiß, Gerhard; Nebe, Gabriele

doi:urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-067311

Orthogonal representations of finite groups = Orthogonale Darstellungen endlicher Gruppen

Braun, Oliver

2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Oliver Braun, M.Sc.

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online-Ressource (141 Seiten) : Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor) ; Hiß, Gerhard (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-09-08

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-067311
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/668387/files/668387.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/668387/files/668387.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Darstellungstheorie (frei) ; endliche Gruppen (frei) ; orthogonale Darstellung (frei) ; SL_2(q) (frei) ; Clifford-Algebra (frei) ; quadratische Formen (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Thema dieser Arbeit sind orthogonale Darstellungen endlicher Gruppen. Darunter verstehen wir ein Paar (V,q) bestehend aus einem KG-Modul V und einer G-invarianten nicht ausgearteten quadratischen Form q auf V. Wir betrachten hier lediglich endliche Gruppen G und total reelle Zahlkörper K. Die G-invarianten quadratischen Formen auf V bilden einen K-Vektorraum und wir interessieren uns vorrangig für den Fall, in dem dieser Raum eindimensional ist. Ist dies der Fall, so nennen wir den KG-Modul V uniform.Es ist ein bekanntes Resultat der gewöhnlichen Darstellungstheorie, dass der Isomorphietyp des KG-Moduls V durch seinen Charakter χ festgelegt ist. In anderen Worten legt χ eine nicht ausgeartete G-invariante quadratische Form q auf V fest, falls V uniform ist. Dies wirft die Frage auf, wie man die Isometrieklasse von q anhand des Charakters χ bestimmen kann.Erste Ergebnisse zu dieser Frage wurden von Gabriele Nebe erzielt, die in ihrer Habilitationsschrift eine rein charaktertheoretische Methode entwirft, um die obige Frage zu beantworten. Diese Methode ist jedoch nur unter einigen günstigen (und einschränkenden) Voraussetzungen anwendbar, sodass die Frage im Allgemeinen noch unbeantwortet ist.Zu dieser offenen Frage leistet die vorliegende Arbeit verschiedene Beiträge. Zunächst werden der theoretische Hintergrund und die bekannten Ergebnisse präsentiert. Danach stellen wir eine Version der Clifford-Theorie für orthogonale Darstellungen normaler Untergruppen vor und klassifizieren die orthogonalen Darstellungen semidirekter Produkte der Form C_p : C_(p−1). Diese Ergebnisse werden dann genutzt um eines der Hauptergebnisse der Arbeit, nämlich die Klassifikation der orthogonalen Darstellungen der unendlichen Serie von Gruppen SL_2(q) fuer Primpotenzen q zu erhalten.Wir besprechen zudem ein unabhängiges Thema, die so genannten Clifford-Ordnungen, bei denen es sich um Teilringe der klassischen Clifford-Algebra eines quadratischen Raums handelt. Wir definieren diese Teilringe und beschreiben einige ihrer arithmetischen Eigenschaften.Die Arbeit wird mit einem Abschnitt über rechnerische Ergebnisse zu orthogonalen Darstellungen der endlichen einfachen Gruppen im "Atlas of finite groups" abgeschlossen.

The subject of this thesis are orthogonal representations of finite groups. By this we mean a pair (V, q) where V is a KG-module and q is a G-invariant non-degenerate quadratic form on V . We restrict our considerations to finite groups G and totally real number fields K.The G-invariant quadratic forms on V form a K-vector space and we are mainly interested in the case where that vector space is one-dimensional. If it is, we call the KG-module V uniform.It is a well known result of ordinary representation theory that the isomorphism type of V is determined by its character χ. In other words, if V is uniform, χ determines a non-degenerate G-invariant quadratic form q on V up to scalar multiples, which begs the question: How can we determine the isometry class of q given the character χ?First results on this question were achieved by Gabriele Nebe, who devised a purely character-theoretic method to answer the above question in her habilitation thesis. However, Nebe’s method is only applicable under some favourable (and restrictive) conditions, so in general the problem is still open.This thesis contributes to this open question in several ways. First, the theoretical background and the known results are presented. After that we discuss a version of Clifford theory for orthogonal representations of normal subgroups and classify the orthogonal representations of semidirect products of the form C_p : C_(p−1). These results are then used for one of the main results of the thesis, namely the classification of the orthogonalrepresentations of the infinite series of groups SL_2(q) for prime powers q. We also discuss an independent topic, so-called Clifford orders, which are subrings of the classical Clifford algebra of a quadratic space. We define those subrings and describe some of their arithmetic properties.The thesis is concluded with a section of computational results for orthogonal representations of the finite simple groups contained in the "Atlas of finite groups".

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