Sampling-Strategien zur Approximation hochdimensionaler Tensoren im hierarchischen Niedrigrangformat

Kluge, Melanie; Schneider, Reinhold; Grasedyck, Lars

doi:urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-037523

Sampling-Strategien zur Approximation hochdimensionaler Tensoren im hierarchischen Niedrigrangformat = Sampling strategies for high-dimensional tensor approximation in hierarchical low rank format

Kluge, Melanie

2016

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Master of Science Melanie Kluge

ImpressumAachen 2016

Umfang1 Online Ressource (121 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen, 2016

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Grasedyck, Lars (Thesis advisor) ; Schneider, Reinhold (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2016-02-26

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2016-037523
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/573836/files/573836.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/573836/files/573836.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Mathematik (frei) ; Kreuzapproximation (frei) ; Tensor Completion (frei) ; Tucker-Format (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Tensoren treten bspw. bei der Beobachtung physikalischer Phänomene über Messreihen oder bei der Diskretisierung multivariater Funktionen auf. Dabei kann das Phänomen zeitabhängig, wie bei Wetterdaten, oder die multivariate Funktion in ihrer Auswertung sehr teuer, wie im Fall großer vollbesetzter Gleichungssysteme zur Lösung einer partiellen Differentialgleichung, sein. Diese unterschiedlichen Ausgangssituationen stellen verschiedene Bedingungen an die Generierung der Tensoreinträge, die sich in drei Gruppen einteilen lassen. In dieser Arbeit stellen wir für die Approximation von hochdimensionalen Tensoren drei verschiedene Strategie vor, die für eine der drei Ausgangssituationen des Tensors eine Auswahl geeigneter Tensoreinträgen angibt. Mit Hilfe dieser Auswahl an Einträgen berechnet eine von uns entwickelte Berechnungsvorschrift, die Tensor-Kreuzapproximation, eine Approximation im hierarchischen Format. Diese hat einerseits einen wesentlich geringeren Speicheraufwand als der Originaltensor und kann andererseits für weitere Berechnungen und Auswertungen als Annäherung verwendet werden.Wir untersuchen ausführlich wie die Veränderung der vorkommenden Variablen, des Tensors und der Strategie, die Approximation beeinflussen, und zeigen daraus ableitend die Stärken und Schwächen jeder Strategie auf. Dabei schauen wir auch über den Rand unserer Berechnungsvorschrift hinaus, indem wir verschiedene Optimierungsverfahren zum Vergleich heranziehen.Alle Untersuchungen und Beobachtungen vereinen sich in einer Empfehlung, wann welches Verfahren mit welcher Strategie am besten geeignet ist und wie man die Stärke der gewählten Strategie am besten nutzen kann.

Tensors are obtained, e.g., by the consideration of a physical phenomena in a serie of measurements or by the discretisation of a multivariate function. Therein, the phenomena can be time-dependent, e.g., in the case of meteorological data or the evaluation of a functional value can be very expensive, e.g., if the solution of a partiell differential equation ist given by a huge dense linear system. These different situations lead to different restrictions for the generation of the tensor entries, which are grouped into three categories.In this work, we present three different strategies to approximate a high-dimensional tensor, which selects a set of approriate tensor entries for one of the three situations. Combined with our developed calculation routine, the tensor-cross-approximation, an approximation in the hierarchical format is available. The approximation is of significantly less storage complexity than the original tensor and can be used for further calculation instead of the orinigal one.We consider in detail how much the approximation accuracy ist influenced by changing the occuring variables of the tensor and the strategy. On this basis, we point their strengths and weaknesses out. We also looking beyond our calculation routine by comparing it with different optimization methods.All considerations and observations are joined together by given an advice in which case which method with which strategy is the most suitable one and how to use the strengths of the selected strategy in the best way.

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