Sequential Nonparametric Detection of High-Dimensional Signals under Dependent Noise

Prause, Annabel; Steland, Ansgar; Gombay, Edit; von Sachs, Rainer

doi:34626

Sequential Nonparametric Detection of High-Dimensional Signals under Dependent Noise = Sequentielle nichtparametrische Detektion von höherdimensionalen Signalen unter abhängigem Rauschen

Prause, Annabel

2015

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Annabel Prause

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2015

UmfangIX, 143 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Steland, Ansgar (Thesis advisor) ; von Sachs, Rainer (Thesis advisor) ; Gombay, Edit (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2015-01-28

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2015-013522
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/464539/files/464539.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/464539/files/464539.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit sequentiellen nichtparametrischen Detektionsverfahrenfür höherdimensionale Signale, d.h. mit der Erkennung eines Change-Pointsin einem gegebenen Datensatz eines diskret abgetasteten Signals, wobei wir Störtermein Form von abhängigem Rauschen zulassen. Sie verallgemeinert damit eine Arbeit vonPawlak und Steland, in der Detektionsalgorithmen für univariate Signale untersucht wurden,in zweierlei Hinsicht: Zum einen betrachten wir vektorwertige Signale mit univariaterZeitkomponente, zum anderen reellwertige Signale mit multivariater Zeitkomponente.Kapitel 2 beschäftigt sich zunächst mit der Einführung geeigneter Funktionenräume,den sogenannten Skorohodräumen. Diese enthalten nicht nur stetige Funktionen, sondernlassen auch Funktionen mit gewissen Unstetigkeitsstellen zu und bilden damit einengeeigneten Rahmen für die in den folgenden Kapiteln vorgestellten Detektionsprozesse.Kapitel 3 beendet den einführenden Teil der Arbeit, indem wir eine kurze Zusammenfassungder wichtigsten Ergebnisse aus der Arbeit von Pawlak und Steland geben.In Kapitel 4 übertragen wir diese Ergebnisse schließlich auf den Fall vektorwertigerSignale. Hierzu leiten wir zunächst einen geeigneten multivariaten Detektionsprozess her,f¨ur den wir im Anschluss die asymptotische Verteilung unter der Nullhypothese und derAlternative bestimmen. Gilt die Nullhypothese, so bedeutet dies, dass das beobachteteSignal mit einem gegebenen Referenzsignal übereinstimmt; gilt jedoch die Alternative, sounterscheiden sich das beobachtete Signal und das Referenzsignal.Kapitel 5 dient als Einführung des multivariaten Riemann-Stieltjes-Integrals sowiezweierlei Definitionen von Funktionen beschränkter Variation in mehreren Variablen.Diese Begriffe benötigen wir für die Verallgemeinerung der Ergebnisse auf Signale mitmultivariater Zeitkomponente, welche in Kapitel 6 stattfindet. Hierbei modellieren wirdas Rauschen durch abhängige Zufallsfelder. Außerdem leiten wir wiederum die asymptotischeVerteilung sowohl unter der Nullhypothese als auch unter der Alternative her.Ein wichtiger Parameter, der in den Grenzverteilungen auftaucht, ist die asymptotischeVarianz des Zufallsfeldes, welche im Allgemeinen unbekannt ist und somit geschätzt werdenmuss. Einen geeigneten konsistenten Schätzer dafür stellen wir deshalb in Kapitel 7vor. Je nach Abhängigkeitsstruktur des zugrundeliegenden Zufallsfeldes kann die Wurzelaus der kleinstm¨oglichen mittleren quadratischen Abweichung (RMSE) aber immer nochrecht groß sein, weshalb wir einen weiteren Schätzer dieses Parameters vorschlagen, derin einigen Modellen zu einem geringeren RMSE führt.In Kapitel 8 führen wir eine ausführliche Simulationsstudie durch. Wir untersuchendabei zunächst die Güte der beiden Schätzer aus Kapitel 7 für verschiedene Abhängigkeitsmodelleder Zufallsfelder und betrachten anschließend das gesamte Detektionsverfahrenaus Kapitel 6. Hierbei untersuchen wir sowohl die Power des Algorithmus’ als auchdie Fehlerwahrscheinlichkeiten erster und zweiter Art, wobei wir für die asymptotischeVarianz teils den wahren Wert und teils die Schätzer aus Kapitel 7 verwenden.Die Arbeit endet mit Kapitel 9, wo wir weitere Verallgemeinerungen der Ergebnisseaus Kapitel 6 betrachten, welche in Zukunft noch näher untersucht werden können.

This thesis deals with sequential nonparametric detection schemes for high-dimensionalsignals, i.e. with the identification of a change-point in a given data set of a discretelysampled signal, where we allow for dependent noise as error terms. Thus, the thesisgeneralizes a work of Pawlak and Steland, in which detection algorithms for univariatesignals were investigated, in two different ways: For one thing we consider vector-valuedsignals with univariate time component, for another thing we consider real-valued signalswith multivariate time component.Chapter 2 introduces appropriate function spaces, the so-called Skorohod spaces.These do not only contain continuous functions, but also functions with certain discontinuitiesand are hence a convenient framework for the proposed detection processes of thefollowing chapters.Chapter 3 completes the introductory part of the work by giving a short summary ofthe most important results of the work of Pawlak and Steland.Finally, in Chapter 4 we develop these results for vector-valued signals. This meansthat we first establish an appropriate multivariate detection process for which we thendetermine its asymptotic distribution under the null hypothesis as well as under the alternative.If the null hypothesis holds true, the observed signal and the given referencesignal coincide; if, however, the alternative holds true, the observed signal and the referencesignal differ.Chapter 5 serves as an introduction to the multivariate Riemann-Stieltjes integralplus two definitions of functions of bounded variation in several variables. We need thesenotions for the generalization of the results to signals with multivariate time componentwhich we do in Chapter 6. Here, we model the noise by dependent random fields. Moreover,we establish the asymptotic distribution under the null hypothesis and under thealternative.An important parameter that appears in the limit distributions is the asymptotic varianceof the random field which is, in general, unknown and hence needs to be estimated.Thus, in Chapter 7 we propose an appropriate consistent estimator for it. However, forsome dependence structures of the underlying random field the smallest possible rootmean square error (RMSE) is still quite high for what reason we introduce a furtherestimator which leads to a smaller RMSE in some models.In Chapter 8 we perform an extensive simulation study. First, we investigate thebehaviour of the two estimators of Chapter 7 for different dependence models of therandom field. Next, we consider the whole detection process of Chapter 6. We analysethe power of the algorithm as well as the type one and type two errors whereby for theasymptotic variance we partly use the true value and partly the estimators of Chapter 7.The thesis concludes with Chapter 9 where we consider further generalizations of theresults of Chapter 6 which should be subject for future research.

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