On a Space-Time Extended Finite Element Method for the Solution of a Class of Two-Phase Mass Transport Problems

Lehrenfeld, Christoph; Behr, Marek; Reusken, Arnold; Schöberl, Joachim

doi:34543

On a Space-Time Extended Finite Element Method for the Solution of a Class of Two-Phase Mass Transport Problems = Über eine Raum-Zeit erweiterte Finite-Elemente-Methode für die Lösung einer Klasse von zweiphasigen Stofftransportproblemen

Lehrenfeld, Christoph

2015

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christoph Lehrenfeld

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2015

UmfangIX, 219 S. : Ill., graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2015

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Reusken, Arnold (Thesis advisor) ; Behr, Marek (Thesis advisor) ; Schöberl, Joachim (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2015-02-04

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-rwth-2015-006739
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/462743/files/462743.pdf
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/462743/files/462743.pdf?subformat=pdfa

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Dissertation (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; space-time (frei) ; extended finite element method (frei) ; two-phase problems (frei) ; mass transport (frei) ; error analysis (frei) ; 4D quadrature (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit wird eine neue numerische Methode für die Simulation von Stofftransportprozessen in inkompressiblen unvermischbaren Zweiphasen-Strömungen vorgestellt. Das mathematische Modell für den Stofftransport besteht hierbei aus Konvektions-Diffusions-Gleichungen auf sich bewegenden Gebieten, welche durch Übergangsbedingungen an der Phasengrenze miteinander gekoppelt sind. Eine dieser Bedindungen, die Henry-Bedingung, schreibt eine Sprung-Unstetigkeit der Lösung über die Phasengrenze vor. Zur Beschreibung der Phasengrenze und ihrer Entwicklung in der Zeit werden so genannte “interface capturing” Methoden betrachtet, zum Beispiel die Levelset-Methode. Bei diesen Methoden ist das Rechengitter nicht an die sich bewegende Phasengrenzeangepasst, sodass die Phasengrenze einzelne Elemente schneidet. Unstetigkeiten bewegen sich also innerhalb einzelner Elemente, was die numerische Behandlung anspruchsvoll macht. Die in dieser Arbeit vorgestellte Methode basiert auf drei Kernkomponenten. Die erste Komponente ist ein erweiterter Finite-Elemente-Raum (XFEM). Dieser ermöglicht es Unstetigkeiten genau darzustellen ohne auf Gitter angewiesen zu sein, welche an die Phasengrenze angepasst sind. Die hierfür verwendete Anreicherung berücksichtigt jedoch nicht die Sprung-Bedingung an der Phasengrenze. Die zweite Komponente der Methode, eine Variante der Nitsche-Methode, löst dieses Problem. Die Bedingung an der Phasengrenze wird hierbei im Rahmen der diskreten Variationsformulierung der Finite-Elemente-Methode in einem schwachen Sinn gefordert. Für eine stationäre Phasengrenze bietet die Kombination beider Techniken eine gute Herangehensweise, um eine zuverlässige Methode zur Simulation des Stofftransports in Zweiphasenströmungen zu erhalten. Der schwierigste Aspekt an dem betrachteten Problem ist jedoch die Tatsache, dass die Phasengrenze in der Regel nicht stationär ist, sondern sich mit der Zeit bewegt. Die numerische Behandlung von sich bewegenden Unstetigkeiten erfordert besondere Sorgfalt. Zu diesem Zweck wird eine Variationsformulierung in Raum-Zeit eingeführt, welche die dritte Kernkomponente unserer Methode darstellt. Die Kombination mit den ersten beiden Komponenten führt zu einer robusten Methode mit hoher Genauigkeit. Für den Fall einer stationären Phasengrenze wurde die Kombination aus XFEM-Anreicherung und Nitsche-Methode, die Nitsche-XFEM-Methode, bereits von anderen Autoren eingeführt. Diese Methode ist jedoch nicht stabil im konvektions-dominierten Fall. Um auch im Fall dominierender Konvektion eine stabile Methode zu erhalten, wird die Nitsche-XFEM-Methode mit der Streamline-Diffusion-Technik kombiniert. Darüberhinaus wird die Kondition linearer Gleichungssysteme diskutiert, die aus Diskretisierungen mit der Nitsche-XFEM-Methode entstehen und extrem schlecht konditioniert sein können.Für den Fall einer sich bewegenden Phasengrenze wird eine Galerkin-Formulierung in Raum-Zeit eingeführt, bei der Ansatz- und Testfunktionen verwendet werden, die unstetig in der Zeit sind. Diese Formulierung wird mit einer XFEM-Anreicherung und der Nitsche-Methode kombiniert und resultiert in der Space-Time-DG-Nitsche-XFEM-Methode. Die Methode wird mitsamt einer zugehörigen Fehleranalyse vorgestellt und Implementierungsaspekte werden diskutiert.Die behandelten Methoden wurden in dem Softwarepaket DROPS für den dreidimensionalen Fall implementiert. Die Korrektheit der Implementierung und die Genauigkeit des Verfahrens wird anhand von Testproblemen analysiert. Abschließend wird die gekoppelte Simulation des Stofftransports und der Fluiddynamik für ein realistisches Szenariobetrachtet.

In the present thesis a new numerical method for the simulation of mass transport in an incompressible immiscible two-phase flow system is presented. The mathematical model consists of convection diffusion equations on moving domains which are coupled through interface conditions. One of those conditions, the Henry interface condition, prescribes a jump discontinuity of the solution across the moving interface.For the description of the interface position and its evolution we consider interface capturing methods, for instance the level set method. In those methods the mesh is not aligned to the evolving interface such that the interface intersects mesh elements. Hence, the moving discontinuity is located within individual elements which makes the numerical treatment challenging. The discretization presented in this thesis is based on essentially three core components. The first component is an enrichment with an extended finite element (XFEM) space which provides the possibility to approximate discontinuous quantities accurately without the need for aligned meshes. This enrichment, however, does not respect the Henry interface condition.The second component cures this issue by imposing the interface condition in a weak sense into the discrete variational formulation of the finite element method. To this end a variant of the Nitsche technique is applied. For a stationary interface the combination of both techniques offers a good way to provide a reliable method for the simulation of mass transport in two-phase flows. However, the most difficult aspect of the problem is the fact that the interface is typically not stationary, but moving in time. The numerical treatment of the moving discontinuity requires special care. For this purpose a space-time variational formulation, the third core component of this thesis, is introduced and combined with the first two components: the XFEM enrichment and the Nitsche technique. In this thesis we present the components and the resulting methods one after another, for stationary and non-stationary interfaces. We analyze the methods with respect to accuracy and stability and discuss important properties. For the case of a stationary interface the combination of an XFEM enrichment and the Nitsche technique, the Nitsche-XFEM method, has been introduced by other authors. Their method, however, lacks stability in case of dominating convection. We combine the Nitsche-XFEM method with the Streamline Diffusion technique to provide a stable method also for convection dominated problems. We further discuss the conditioning of the linear systems arising from Nitsche-XFEM discretizations which can be extremely ill-conditioned.For the case of a moving interface we propose a space-time Galerkin formulation with trial and test functions which are discontinuous in time and combine this approach with an XFEM enrichment and a Nitsche technique resulting in the Space-Time Nitsche-XFEM method. This method is new. We present an error analysis and discuss implementation aspects like the numerical integration on arising space-time geometries.The aforementioned methods have been implemented in the software packages DROPS for the spatially three-dimensional case. The correctness of the implementation and the accuracy of the method is analyzed for test cases. Finally, we consider the coupled simulation of mass transport and fluid dynamics for realistic scenarios.

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