Jacobiformen über den Cayley-Zahlen

Dieckmann, Cornelia; Krieg, Aloys

doi:33605

Jacobiformen über den Cayley-Zahlen = Jacobi forms over the Cayley numbers

Dieckmann, Cornelia (Author)^RWTH*

2014

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Cornelia Dieckmann (geb. Wirtz)

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2014

UmfangIII, 388 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Krieg, Aloys (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-06-04

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-52028
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/445009/files/5202.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Jacobi-Form (Genormte SW) ; Cayley-Zahlen (Genormte SW) ; Modulform (Genormte SW) ; Theta-Reihe (Genormte SW) ; Oktave <Mathematik> (Genormte SW) ; Hermitesche Matrix (Genormte SW) ; Modulgruppe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Jacobi-Eisensteinreihe (frei) ; Cayley Halbraum (frei) ; Theta-Transformationsformel (frei) ; Octonion (frei) ; Jacobi forms (frei) ; theta series (frei) ; modular forms (frei) ; cayley numbers (frei) ; modular group (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 33E20 * 17A15 * 11F50 * 20H99

Kurzfassung
Die klassische Theorie der Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes C) wurde von Eichler und Zagier systematisch beschrieben. Höherdimensionale Verallgemeinerungen dieser Jacobiformen wurden bereits von Ziegler und Gritsenko betrachtet. Sie treten in natürlicher Weise in der Fourier-Jacobi-Entwicklung von Siegelschen Modulformen auf. 1991 führten Eie und Krieg Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}_{C}) ein. Analog zum klassischen Fall treten auch diese als Fourier-Jacobi-Koeffizienten von Modulformen auf dem Halbraum der Cayley Zahlen vom Grad 2 auf. Dementsprechend liefert nun die Fourier-Jacobi-Entwicklung von Modulformen auf dem Cayley Halbraum vom Grad 3 Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}_{C}^{2}) bzw. auf (mathcal{H}(2,mathcal{C}) imes mathcal{C}_{C}^{1 imes 2}), wobei (mathcal{H}(2,mathcal{C})) den Cayley Halbraum vom Grad 2 bezeichne. Die genaue Untersuchung dieser beiden Typen von Jacobiformen ist eine der wesentlichen Bestandteile dieser Arbeit. Konkret gliedert sich diese wie folgt: Im 1. Kapitel werden die Cayley Zahlen eingeführt und ihre wichtigsten Eigenschaften angeben. Dabei berufen wir uns vor allem auf Arbeiten von Conway, Smith und Rehm. Neben den ganzen Cayley Zahlen (mathcal{O}_{mathcal{C}}) widmen wir uns dem Algorithmus zur Bestimmung aller Rechts- bzw. Linksteilern von eben solchen ganzen Cayley Zahlen. In Zusammenarbeit mit Derek Smith ist es gelungen, die Menge der Rechts- beziehungsweise Linksteiler ungerader Norm in Bezug auf ihre Kongruenzeigenschaft modulo (2mathcal{O}_{mathcal{C}}) genauer zu charakterisieren. In Kapitel 2 werden Matrizen über den Cayley Zahlen untersucht. Dabei sind vor allem hermitesche und positiv (semi)definite Matrizen von Interesse. Es wird erklärt, wie diese Begriffe im oktonionischen Fall zu interpretieren sind. Für positiv (semi)definite Matrizen gelingt es zudem einige im Verlauf der Arbeit nützliche Charakterisierungen herzuleiten. Im 3. Kapitel werden die Begriffe des Cayley Halbraums, der Modulgruppe über den Cayley Zahlen sowie der oktonionischen Modulformen eingeführt. Dabei verwenden Baily, Krieg und Walcher eine andere Definition der Modulgruppe als z.B.Eie. Wir werden zeigen, dass diese unterschiedlichen Definitionen dieselbe Gruppe beschreiben. Funktionen, die in natürlicherweise auftreten, wenn wir Jacobiformen betrachten, sind sogenannte Theta-Reihen. Um Rückschlüsse zwischen Jacobiformen und gewissen Modulformen ziehen zu können, werden diese im 4. Kapitel ausführlich behandelt. Eine interessante Frage ist dabei, wie sich Theta-Konstanten unter der Abbildung (Z mapsto Z^{tr}) verhalten. Für einige Fälle hilft dabei der in Kapitel 1 neu entwickelte Algorithmus weiter. In den übrigen Fällen kann zumindest ein einfaches Transformationsverhalten ausgeschlossen werden. Dies wiederum lässt die Frage aufkommen, wie sich die Theta-Konstanten eingeschränkt auf den Quaternionen-Halbraum verhalten. Dieser letzte Teil, welcher in Zusammenarbeit mit A. Krieg entstanden ist, wurde bereits veröffentlicht. In Kapitel 5 wird die erste Art der Jacobiformen auf (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}^2) eingeführt, sogenannte Jacobiformen vom Gewicht (k in ) und Index R, wobei R eine hermitesche 2x2 Matrix über den ganzen Cayley Zahlen bezeichne. Wir werden sehen, dass die Fourier-Jacobi-Koeffizienten von Modulformen auf dem Cayley Halbraum vom Grad 3 Beispiele eben solcher Jacobiformen bilden. Darüberhinaus wird gezeigt, dass sich jede Jacobiform vom Gewicht k und Index R als Linearkombination von speziellen, linear unabhängigen Theta-Reihen schreiben lässt, wobei die dabei auftretenden Koeffizienten klassische Modulformen zu einer Hauptkongruenzuntergruppe von (extnormal{SL}(2,)) sind. Diese Tatsache liefert uns eine Dimensionsabschätzung für den Raum der Jacobiformen. Zum Abschluss des Kapitels geben wir weitere Beispiele für Jacobiformen vom Gewicht k und Index R an, sogenannte Jacobi-Eisensteinreihen. Im letzten Kapitel dieser Arbeit wird dann die zweite Art der Jacobiformen auf (mathcal{H}(2,mathcal{C}) imes mathcal{C}_{C}^{1 imes 2}) betrachtet, Jacobiformen vom Gewicht (k in ) und Index (m in N_0). Eie hat diese Art der Jacobiformen bereits untersucht. Wir werden zeigen, dass wir die Definition einer Jacobiform von Eie abschwächen können ohne dass die geforderten Transformationseigenschaften verloren gehen. Insbesondere zeigen wir, dass in diesem Fall der sogenannte Koecher-Effekt greift, welcher uns eine Fourier-Entwicklung über positiv semidefinite Matrizen liefert. Auch hier erhalten wir eine Darstellung als Linearkombination von speziellen Theta-Reihen, allerdings bilden die Koeffizienten dieser Darstellung nun eine vektorwertige Modulform über dem Cayley Halbraum vom Grad 2. Erneut schließen wir daraus auf einen Zusammenhang zwischen dem Raum der vektorwertigen Modulformen und Jacobiformen.

The classical theory of Jacobi forms on (mathcal{H}_1 imes C), was systematically described by Eichler and Zagier. Higher-dimensional generalizations of these Jacobi forms were considered by Ziegler and Gritsenko. Jacobi forms of this type naturally appear in the Fourier-Jacobi expansion of Siegel modular forms. Eie and Krieg introduced Jacobi forms on (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}_{C}) in 1991. Analogously to the classical case, these Jacobi forms also occur as Fourier-Jacobi coefficients of modular forms on the half space of the Cayley numbers of degree 2. Consequently, the Fourier-Jacobi expansion of modular forms on the Cayley half space of degree 3 yields Jacobi forms on (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}_{C}^{2}) and on (mathcal{H}(2,mathcal{C}) imes mathcal{C}_{C}^{1 imes 2}) respectively, where (mathcal{H}(2,mathcal{C})) denotes the Cayley half space of degree 2. The precise investigation of both types of Jacobi forms is one of the essential aims of this thesis, which is structured as follows: In the first chapter we will introduce the Cayley numbers and quote their most important properties. For this, we mainly refer to the works of Conway and Smith as well as Rehm. Beside the integral Cayley numbers (mathcal{O}_{mathcal{C}}), we focus on the algorithm to determine all right and left divisors respectively of an integral Cayley number. In collaboration with Derek Smith we managed to characterise the set of right and left divisors of odd norm with respect to their congruence properties modulo (2 mathcal{O}_{mathcal{C}}). In chapter 2 we investigate matrices over Cayley numbers. Especially hermitian and positive (semi)definite matrices are of interest. We will explain how these terms have to be interpretated in the octonionic case. In addition to that, we establish some characterizations for positive (semi)definite matrices which will be useful in the course of this thesis. In the third chapter we introduce the concepts of the Cayley half space, the modular group over the Cayley numbers as well as the octonionic modular forms. We observe that Baily, Krieg and Walcher use a definition for the modular group which is different from the one Eie uses, for instance. We will show that these different definitions still describe the same group. Functions which naturally occur when we consider Jacobi forms are the so called theta series. Since it is important to know their properties exactly in order to establish connections between Jacobi forms and special modular forms, we will discuss theta series in detail. Particularly one interesting question is how theta constants behave under the transpose map (Z mapsto Z^{tr}). In some cases we can use the new algorithm to determine all right and left divisors of odd norm of chapter 1. In all remaining cases an easy behaviour can be excluded. This again leads to the question how theta constants behave when we restrict them to the quaternionic half space. We will give an answer to this question in the last part of chapter 4 This part, written in collaboration with A. Krieg, has already been published. In chapter 5 we will introduce the first kind of Jacobi forms on (mathcal{H}_1 imes mathcal{C}^2), which are called Jacobi forms of weight (k in ) and index R, where R denotes an hermitian 2x2 matrix over the integral Cayley numbers. We will see that the Fourier-Jacobi coefficients of modular forms on the Cayley half space of degree 3 are examples of such Jacobi forms. In addition to that, we will show that every Jacobi form of weight k and index R can be written as a linear combination of special, linear independent theta series, where the occuring coefficients are classical modular forms with respect to a main congruence group of (extnormal{SL}(2,)). This circumstance provides an estimation of the dimension of the space of Jacobi forms. At the end of this chapter we indicate further examples of Jacobi forms of weight k and index R, the so called Jacobi-Eisenstein series. In the last chapter of this thesis we will consider a second kind of Jacobi form, which is defined on (mathcal{H}(2,mathcal{C}) imes mathcal{C}_{C}^{1 imes 2}). They are called Jacobi forms of weight (k in ) and index (m in N_0), and have already been studied by Eie. However, we will show that we can weaken Eie's definition of an Jacobi form without losing the claimed transformation properties. Especially, we will prove that in this case the so called Koecher effect holds, which provides a Fourier expansion that runs only over positive semidefinite matrices. Even for this kind of Jacobi forms we obtain a representation as a linear combination of special theta series. But in this case, the corresponding coefficients form a vector valued modular form over the Cayley half space of degree 2. Again we establish a connection between vector valued modular forms and Jacobi forms from this fact.

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