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Borcherds lifts and Maaß lifts on the paramodular group of level 3 = Borcherds Lifts und Maaß Lifts zur paramodularen Gruppe der Stufe 3



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Judith Kreuzer

ImpressumAachen 2014

UmfangIII, 75 S.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2014


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2014-03-21

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-50412
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229817/files/5041.pdf

Einrichtungen

  1. Fachgruppe Mathematik (110000)
  2. Lehrstuhl A für Mathematik (114110)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Borcherds-Produkt (Genormte SW) ; Paramodulgruppe (Genormte SW) ; Modulform (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Maaß Lift (frei) ; modular form (frei) ; Borcherds lift (frei) ; Maaß lift (frei) ; paramodular group (frei) ; Borcherds product (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 11F46

Kurzfassung
Ziel dieser Arbeit ist es, eine vollständige Charakterisierung der Modulformen auf der paramodularen Gruppe Gamma_3^+ der Stufe 3 anzugeben, die Maaß Lift und Borcherds Lift zugleich sind. Der Maaß Lift ist ein additiver Lift, der eine Fourier-Entwicklung der Modulform liefert. Zudem erfüllen die Fourier-Koeffizienten eine gewisse Relation. Im Gegensatz dazu liefert der Borcherds Lift eine Produkt-Entwicklung der Modulform. Somit ist dieser Lift multiplikativ und eine Bestimmung der Divisoren dieses Lifts ist gut möglich. Durch die jeweilige Konstruktion der Lifts sind einige Eigenschaften einer Modulform, die man über einen Maaß Lift oder Borcherds Lift erhält, bereits bekannt. Da diese Eigenschaften sich aber stark in ihrer Struktur unterscheiden, ist es schwierig diese beiden Lifts miteinander zu vergleichen. Die Frage, ob eine Modulform Maaß Lift und Borcherds Lift zugleich ist, wurde bislang kaum untersucht. Eine erste systematische Untersuchung gab es von B. Heim und A. Murase im Fall der Siegelschen Modulformen vom Grad 2 ohne Charakter. Bei der Beantwortung der Frage nach simultanen Lifts zur paramodularen Gruppe der Stufe 3 stellte sich heraus, dass der dort geführte Beweis sich nicht auf den paramodularen Fall übertragen lässt. Daher wurde ein neuer Beweis entwickelt. Dieser neue Beweis wird zunächst bei der Betrachtung des Falls Siegelscher Modulformen mit Charakter vorgestellt. Anschließend wird die gleiche Argumentationskette auf den paramodularen Fall angewendet. Ein wichtiger Schritt in der Beschreibung der simultanen Lifts besteht darin, Eigenschaften der Maaß Lifts und Borcherds Lifts auf der paramodularen Gruppe Gamma_3^+ zu bestimmen. Es stellt sich heraus, dass diese Eigenschaften an sich schon interessant sind. Beispielsweise kann ein Maaß Lift auf Gamma_3^+ nur bestimmte Charaktere besitzen. Weiter kann eine Konstruktionsmethode angeben werden, mit der Borcherds Lifts zu jedem beliebig vorgegebenen Divisor bestimmt werden können. Zu diesen konstruierten Borcherds Lifts sind ferner Strukturaussagen möglich, ohne explizite Kenntnisse dieser Lifts; z.B. ob es sich um eine Spitzenform handelt oder ob die Modulform trivialen Charakter hat. Außerdem kann gezeigt werden, dass jeder Borcherds Lift auf Gamma_3^+, der eine Nicht-Spitzenform ist, trivialen Charakter haben muss. Schließlich stellt man fest, dass es - bis auf einen konstanten Faktor - genau sechs Modulformen auf Gamma_3^+ gibt, die Maaß Lifts und Borcherds Lifts zugleich sind.

The main goal of this thesis is to give a full characterization of those modular forms on the paramodular group Gamma_3^+ of level 3 that are Maaß lifts and Borcherds lifts at the same time. The Maaß lift is an additive lift that yields a Fourier expansion. Moreover, we obtain a certain relation among the Fourier coefficients. In contrast, the Borcherds lift yields an infinite product expansion of the modular form. Thus, it is multiplicative and we can determine the divisors of a Borcherds lift quite easily. By construction, we already know certain properties of a modular form obtained by a Maaß lift or a Borcherds lift. But these properties differ a lot in structure, which makes it difficult to compare the two lifts. The question if a modular form is a Maaß lift and a Borcherds lift at the same time has hardly been examined until now. A first systematical approach to this question was taken by B. Heim and A. Murase in the case of Siegel modular forms of degree 2 without character. In answering the question of simultaneous lifts for the paramodular group Gamma_3^+ of level 3, it turned out that it is not possible to give an analogous proof to the Siegel case. Thus, a new proof was developed. This new approach is presented first by characterizing simultaneous lifts in the case of Siegel modular forms with characters. Afterwards, the same line of argument will be used for the paramodular case of level 3. An important step in describing simultaneous lifts lies in finding properties of Maaß lifts and Borcherds lifts on Gamma_3^+. Some of these characteristics turn out to be interesting in their own right. For example, a Maaß lift on Gamma_3^+ can have only certain characters, and a method to construct Borcherds lifts with any given divisor is presented. Moreover, it is possible to give structural statements on these constructed Borcherds lifts without knowing them in concrete terms; e.g. if it is a cusp form or if it has trivial character. In addition to that, one can show that every non-cuspidal Borcherds lift on Gamma_3^+ must have trivial character. Finally, it turns out that -up to a multiplicative constant- there are exactly six modular forms on Gamma_3^+ that are Maaß lifts and Borcherds lifts at the same time.

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
English

Interne Identnummern
RWTH-CONV-144719
Datensatz-ID: 229817

Beteiligte Länder
Germany

 GO


OpenAccess

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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
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Publications database
110000
114110

 Record created 2014-07-16, last modified 2022-04-22


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