Noncommutative computer algebra with applications in algebraic analysis

Andres, Wolf Daniel; Zerz, Eva

doi:4928

Noncommutative computer algebra with applications in algebraic analysis = Nichtkommutative Computeralgebra mit Anwendungen in algebraischer Analysis

Andres, Wolf Daniel (Author)

2013 & 2014

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Andres, Wolf Daniel

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2013

UmfangX, 190 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Prüfungsjahr: 2013. - Publikationsjahr: 2014

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Zerz, Eva (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-12-19

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-49285
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/228697/files/4928.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
D-Modul (Genormte SW) ; Weyl-Algebra (Genormte SW) ; Gelfand-Kirillov-Dimension (Genormte SW) ; Gröbner-Basis (Genormte SW) ; Elimination (Genormte SW) ; Urbild <Mathematik> (Genormte SW) ; Algorithmus (Genormte SW) ; Implementierung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Annihilator (frei) ; Algorithmen (frei) ; G-Algebra (frei) ; Bernstein-Sato-Polynom (frei) ; V-Filtrierung (frei) ; Standard-Basis (frei) ; Weyl-Abschluss (frei) ; D-module (frei) ; Bernstein data (frei) ; Gröbner basis (frei) ; preimage (frei) ; algorithms (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 16Z05 * 14F10 * 13P10 * 68W30

Kurzfassung
Nach einer sorgfältigen Einführung in die (nichtkommutative) Computeralgebra präsentieren wir einen Algorithmus für die Elimination von Variablen in beliebigen G-Algebren mittels Gröbnerbasen, falls das Eliminationslemma anwendbar ist. Mit diesem Algorithmus automatisieren wir den Vorgang, eine notwendige Eigenschaft einer Unteralgebra zu überprüfen, eine Eliminationsordnung zu finden, die Berechnung der Gröbnerbasis durchzuführen und das Ergebnis mit der Unteralgebra zu schneiden. Dann wenden wir den Algorithmus auf die Berechnung von Urbildern von (Links-)Idealen unter Homomorphismen von G-Algebren an, was auf eine Verbesserung von Levandovskyys Zugang führt. Zudem verallgemeinern wir eine Idee von Noro, um das Problem der Berechnung des Schnittes eines Ideals in einer Ore-Lokalisierung einer G-Algebra mit einer Hauptunteralgebra zu lösen, vorausgesetzt, dass die Nichttrivialität des Schnittes bereits a priori bekannt ist. Des Weiteren untersuchen wir die nullte graduierte Komponente von Kashiwaras und Malgranges V-Filtrierung der n-ten Weyl-Algebra. Wir zeigen, dass unter der Voraussetzung, dass der betrachtete Gewichtsvektor identische Einträge besitzt, diese Komponente (aufgefasst als Algebra) isomorph zu einem Quotienten der universell einhüllenden Algebra der allgemeinen linearen Lie-Algebra ist und bestimmen explizit ein Erzeugendensystem des entsprechenden Ideals. Ebenfalls ermitteln wir die Gel'fand-Kirillov-Dimension der nullten graduierten Komponente durch zwei unterschiedliche Methoden, eine computeralgebraische und eine ringtheoretische. Danach diskutieren wir Operatoren, die Bernsteins Funktionalgleichung erfüllen, und leiten ein notwendiges, rein kommutatives Kriterium für die Existenz eines Bernstein-Operators einer gegebenen Ordnung her. Wir geben eine neue Methode zur Berechnung von Bernstein-Daten an und verbessern diese. Im Unterschied zu den bereits existierenden Ansätzen stützt sich diese Methode nur auf die Berechnung von Standardbasen in kommutativen Ringen. Weiter benötigen wir nur ungefähr der Hälfte der Anzahl der Variablen im Vergleich zu den bekannten Algorithmen und reduzieren daher drastisch die theoretische Komplexität der Berechnung des Bernstein-Sato-Polynoms. Zudem ist es uns möglich, die globale und lokale Situation nahezu identisch zu behandeln. Eine Abwandlung unseres Ansatzes zur Berechnung von Bernstein-Daten liefert eine Methode zur Berechnung s-parametrischer Annihilatoren bis zu einer spezifizierten Ordnung. Eine andere Modifikation ermöglicht, den kompletten Turm von Annihilatoren bis zu einer gegebenen Ordnung zu berechnen. Diese beiden Algorithmen arbeiten ebenfalls über kommutativen Polynomringen. Ferner geben wir eine allgemeine Idee für einen Beweis einer Vermutung von Ucha-Enriquez an und schließen die Lücke im Beweis für einen Spezialfall mittels elementarer Mittel. Wir unternehmen auch einen Schritt in Richtung eines allgemeinen Beweises durch die Formulierung (und den Beweis) einer allgemeinen Formel für die Wirkung eines Differentialoperators mit polynomiellen Koeffizienten auf Produkte von symbolischen Potenzen von Polynomen. Durch die Anwendung unserer Ergebnisse für die nullte graduierte Komponente der V-Filtrierung erhalten wir ein verbessertes Modell für D-Moduln affiner algebraischer Varietäten, welches wiederum die theoretische Komplexität der bekannten Ansätze reduziert. Schließlich benutzen wir Tsais Algorithmus zur Berechnung des Weyl-Abschlusses, um einen neuen Algorithmus zur Berechnung von vollen s-parametrischen Annihilatoren zu konstruieren. Genauso erhalten wir einen Algorithmus zur Berechnung des Annihilators der Exponentialfunktion des Inversen eines Polynoms, welcher bislang die einzige bekannte allgemeine Methode für dieses Problem zu sein scheint.

After giving a careful introduction to (noncommutative) computer algebra, we present an algorithm for the elimination of variables from arbitrary G-algebras via Gröbner bases if the Elimination Lemma is applicable. With this algorithm, we automate the process of checking for a certain necessary property of a subalgebra, finding an elimination ordering, performing the Gröbner basis computation and intersecting the result with the subalgebra. Then we apply this algorithm to the computation of preimages of (left) ideals under homomorphisms of G-algebras, resulting in an enhancement of Levandovskyy's approach. Moreover, we generalize an idea by Noro to solve the problem of intersecting an ideal in an Ore localization of a G-algebra with a principal subalgebra, provided that the intersection is a priori known to be nontrivial. Further, we study the zeroth graded component of Kashiwara's and Malgrange's V-filtration on the n-th Weyl algebra. Under the condition, that the considered weight vector has identical entries, we show, that this component viewed as an algebra is isomorphic to a quotient of the universal enveloping algebra of the general linear Lie algebra and we determine explicitly the set of generators of the respective ideal. We also establish the Gel'fand-Kirillov dimension of the zeroth graded component by two distinct methods, a computer algebraic one and a ring theoretic one. Then we discuss operators satisfying Bernstein's functional equation and derive a necessary, purely commutative criterion for the existence of a Bernstein operator of a given order. We present and enhance a new method to compute Bernstein data, which, in contrast to the existing approaches, relies only on standard basis computations in commutative rings. Moreover, we require only about half of the number of variables compared to the known algorithms and thus, we seriously reduce the theoretic complexity of the computation of the Bernstein-Sato polynomial. In addition, we are able to treat the global and local situations almost identically. We convert our approach to compute Bernstein data to obtain a method to compute s-parametric annihilators up to a specified order. Another modification allows to compute the whole tower of annihilators up to a given order. These two algorithms also work over a commutative polynomial ring. Further, we give a general idea for a proof to a conjecture by Ucha-Enriquez and point out the missing link for a special case by elementary means. We also take a step towards a general solution by formulating (and proving) a general formula for the action of a linear differential operator with polynomial coefficients on products of symbolic powers of polynomials. By applying our results concerning the zeroth graded component of the V-filtration, we obtain an enhanced model for the D-module setting for affine algebraic varieties, which again reduces the theoretical complexity of the known approaches by a huge amount.Finally, we utilize Tsai's algorithm for the computation of the Weyl closure to construct a new algorithm to compute full s-parametric annihilators as well as one to compute the annihilator of the exponential functions of the inverse of a polynomial, which up to now seems to be the only known general method to solve this task.

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