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Hermitesche Gitter und der Nachbarschaftsoperator = Hermitian lattices and the neighborhood operator



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Andreas Henn

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2013

Umfang122 S.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Prüfungsjahr: 2013. - Publikationsjahr: 2014


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-11-29

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-48817
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/228508/files/4881.pdf

Einrichtungen

  1. Fachgruppe Mathematik (110000)
  2. Lehrstuhl A für Mathematik (114110)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Gitter <Mathematik> (Genormte SW) ; Unimodulares Gitter (Genormte SW) ; Modulform (Genormte SW) ; Zahlentheorie (Genormte SW) ; Funktionentheorie (Genormte SW) ; Theta-Reihe (Genormte SW) ; Hecke-Operator (Genormte SW) ; Hermitesche Form (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Hermitesches Gitter (frei) ; Hermitesche Modulform (frei) ; Quaternionische Modulform (frei) ; Nachbarschaftsverfahren (frei) ; Hermitian Lattice (frei) ; modular form (frei) ; number theory (frei) ; complex analysis (frei) ; Hecke operator (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 11H06 * 32N10

Kurzfassung
Diese Arbeit beschäftigt sich mit unimodularen geraden Gittern in euklidischen Vektorräumen, im folgenden als Thetagitter bezeichnet. Wir betrachten Gitter mit einer zusätzlichen Hermiteschen Struktur, d.h. einer Struktur als Modul über dem Ganzheitsring eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers oder einer Maximalordnung in einer definiten Quaternionenalgebra über den rationalen Zahlen. Thetagitter sind für die Theorie der Modulformen von Bedeutung, da die ihnen zugeordneten Thetareihen vom Grad n Siegelsche Modulformen für die volle Siegelsche Modulgruppe sind. Im Fall von Gittern mit einer hermiteschen Struktur kann man nun auch Thetareihen definieren, die Hermitesche bzw. quaternionische Modulformen sind. Von zentraler Bedeutung in der Theorie der Modulformen sind die sogenannten Heckeoperatoren, gewisse Endomorphismen des Vektorraums der Modulformen. Zur Klassifikation von Gittern ist vielfach das Knesersche Nachbarschaftsverfahren, eine globalen Konstruktion, die die Vervollständigungen eines Gitters nur über einer einzigen Primzahl ändert, eingesetzt worden. In Verbindung mit dem Nachbarschaftsverfahren erklärt man nun den Nachbarschaftsoperator, einen Endomorphismus des Vektorraums der formalen Linearkombinationen von Isometrieklassen von Thetagittern. Diesen Operator kann man auch als Operator auf dem von den Thetareihen vom Grad n der betrachteten Gitter aufgespannten Vektorraum betrachten. Es folgt aus Formeln für die Wirkung von Heckeoperatoren auf Thetareihen, dass dieser Operator ein Heckeoperator ist. Hier sollen entsprechende Resultate im Hermiteschen und quaternionischen Fall hergeleitet werden, allerdings nur im Fall der vollen Modulgruppe. Wir beschreiben nun ausführlicher den Inhalt der vorliegenden Arbeit. Im ersten Kapitel werden zunächst die grundlegenden Aspekte der Theorie der Gitter mit hermitescher Struktur zusammengestellt. Dann befassen wir uns mit den drei euklidischen Maximalordnungen $mathcal M_{infty,2}$, $mathcal M_{infty,3}$ und $mathcal M_{infty,5}$ in den Quaternionenalgebren $mathbb Q_{infty,2}$, $mathbb Q_{infty,3}$ bzw. $mathbb Q_{infty,5}$, die im folgenden von Interesse sein werden. Im Hinblick auf die Klassifikation der Thetagitter mit einer hermiteschen Struktur über diesen Ordnungen leiten wir als nächstes eine Maßformel für diese Gitter her, und zwar allgemein für Maximalordnungen in definiten Quaternionenalgebren über den rationalen Zahlen (auch mit Klassenzahl größer als 1). Diese Maßformel genügt bereits, um zu zeigen, dass es bis auf Isometrie über $mathcal M_{infty,3}$ genau ein Thetagitter vom Rang 2 und genau zwei vom Rang 4 gibt. Die Thetagitter vom Rang 6 über $mathcal M_{infty,3}$ lassen sich mithilfe von Untersuchungen der Automorphismengruppen der bekannten Niemeier-Gitter bestimmen. Hier gibt es bis auf Isometrie sechs Thetagitter. Im Fall der Thetagitter vom Rang 8 über $mathcal M_{infty,3}$ haben wir mit dem Kneserschen Nachbarschaftsverfahren die Klassifikation durchgeführt. Wir behandeln zunächst die theoretischen Grundlagen dieses Verfahrens, dann beschreiben wir den entsprechenden Algorithmus, den wir in Magma implementiert haben. Wir finden 83 Isometrieklassen von Thetagittern. Mit derselben Methode haben wir auch die Thetagitter über $mathcal M_{infty,5}$ vom Rang 2, 4 und 6 bestimmt. Hier gibt es ein Thetagitter vom Rang 2, zwei vom Rang 4 und 21 vom Rang 6; die Klassifikation in Rang 8 ist hier außer Reichweite. Anschließend gehen wir in diesem Kapitel noch auf die Definition und die Berechnung des Nachbarschaftsoperators ein. Das folgende Kapitel beschäftigt sich mit Hermiteschen und quaternionischen Modulformen und Heckeoperatoren, wobei wir uns auf den Fall der Klassenzahl 1 beschränken. Nach einer Einführung in die Grundlagen der jeweiligen Theorie bestimmen wir jeweils die Wirkung eines konkreten Heckeoperators auf die Thetareihen von Thetagittern und zeigen so, dass der Nachbarschaftsoperator auf dem von den Thetareihen aufgespannten Vektorraum einem Heckeoperator entspricht. Wir kombinieren dabei Methoden von A. Krieg und E. Freitag aus dem Siegelschen Fall. Weiterhin machen wir Gebrauch von dem Vertauschungsgesetz der Heckeoperatoren mit dem Siegelschen $Phi$-Operator. Da Heckeoperatoren normal bezüglich des Peterson-Skalarprodukts sind, gibt es eine Basis aus Eigenformen des Nachbarschaftsoperators. Im dritten und letzten Kapitel bestimmen wir in einigen Fällen die Filtration der zugehörigen Linearkombinationen von Thetareihen und damit die Dimension der von Thetareihen aufgespannten Vektorräume, indem wir mit Magma Fourierkoeffizienten dieser Eigenformen berechnen. An dieses Kapitel schließen sich zwei Anhänge an. Im ersten sind Grammatrizen für die gefundenen Gitter zusammengestellt, im zweiten ist der Magma-Code für unsere Implementierung des Nachbarschaftsverfahrens enthalten.

This thesis examines unimodular even lattices in Euclidean vector spaces, called theta lattices in the following. We consider lattices with an additional Hermitian structure, i.e. a structure as a module over the ring of integers of an imaginary quadratic number field or a maximal order in a definite quaternion algebra over the rationals. Theta lattices are of importance for the theory of modular forms since their theta series of degree n are Siegel modular forms for the full Siegel modular group. In the case of lattices with a Hermitian structure, one can also define theta series which are Hermitian or quaternionic modular forms respectively. Of central significance in the theory of modular forms are the so-called Hecke operators, certain endomorphisms of the space of modular forms. For the classification of lattices frequently Kneser's neighbor method, a global construction which changes the completion of a lattice only at one prime, has been applied. In connection with the neighbour method, the neighbourhood operator, an endomorphism of the space of formal linear combinations of theta lattices, is defined. This operator can also be regarded as an operator on the space spanned by the theta series of degree n of the considered theta lattices. From formulas describing the effect of Hecke operators on theta series it follows that this operator is a Hecke operator. Here corresponding results in the Hermitian and quaternionic case shall be derived, but only in the case of the full modular group. We now describe the contents of this thesis in more detail. In the first chapter, the foundations of the theory of lattices with a Hermitian structure are compiled. Then we investigate the three Euclidean maximal orders $mathcal M_{infty,2}$, $mathcal M_{infty,3}$ and $mathcal M_{infty,5}$ in the quaternion algebras $mathbb Q_{infty,2}$, $mathbb Q_{infty,3}$ and $mathbb Q_{infty,5}$ respectively, which will be of interest in the following. In regard to the classification of theta lattices with a Hermitian structure over these orders we derive a mass formula for these lattices, but generally for maximal orders in definite quaternion algebras over the rationals (without restriction to the class number). This mass formula suffices for demonstrating that up to isometry there are exactly one theta lattice of rank 2 and two theta lattices of rank 4 over $mathcal M_{infty,3}$. The theta lattices of rank 6 over $mathcal M_{infty,3}$ can be determined by investigation of the automorphism groups of the known Niemeier lattices. In this case, there are six theta lattices up to isometry. In the case of theta lattices of rank 8 over $mathcal M_{infty,3}$, we have carried out the classification with Kneser's neighbor method. First we treat the theoretical foundations of this method, then we describe the corresponding algorithm which we have implemented in Magma. We have found 83 isometry classes of theta lattices. With the same method, we have classified the theta lattices of rank 2, 4, and 6 over $mathcal M_{infty,5}$. In this case there is one theta lattic of rank 2, two of rank 4, and 21 of rank 6; the classification in rank 8 is out of reach. Subsequently we discuss the definition and the computation of the neighborhood operator. The next chapter addresses Hermitian and quaternionic modular forms; we restrict ourselves to the case of class number 1. After an introduction into the foundations of the respective theories, we determine the effect of some concrete Hecke operators on theta series of theta lattices and thereby show that the neighbourhood operator corresponds to a Hecke operator on the space spanned by theta series. For that, we combine methods of A. Krieg and E. Freitag from the Siegel case. Furthermore, we make use of the law of commutation of Hecke operators with the Siegel $Phi$-operator. As Hecke operators are normal with regard to the Peterson scalar product, there is a basis of eigenforms of the neighborhood operator. In the third and last chapter, in some cases we describe the filtration of the affiliated linear combinations of theta series (and thereby the dimensions of the spaces spanned by theta series) by computing Fourier coefficients with Magma. Two appendices follow this chapter. In the first one, Gram matrices are given for the lattices we have found; the second one contains the Magma code for our implementation of the neighborhood method.

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
German

Interne Identnummern
RWTH-CONV-143817
Datensatz-ID: 228508

Beteiligte Länder
Germany

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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
114110

 Record created 2014-07-16, last modified 2022-04-22


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