The one-shot method: function space analysis and algorithmic extension by adaptivity

Kaland, Lena; Gauger, Nicolas Ralph

doi:4855

The one-shot method: function space analysis and algorithmic extension by adaptivity = Die One-Shot-Methode : Analysis im Funktionenraum und algorithmische Erweiterung durch Adaptivität

Kaland, Lena (Author)

2013

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Lena Kaland

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2013

Umfang135 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Gauger, Nicolas Ralph (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-11-28

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-48551
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229321/files/4855.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Nichtlineare Optimierung (Genormte SW) ; Optimale Kontrolle (Genormte SW) ; Gestaltoptimierung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; nonlinear programming (frei) ; optimal control (frei) ; shape optimization (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Diese Arbeit befasst sich mit der funktionalanalytischen Analysis der One-Shot-Methode wie auch ihrer algorithmischen Erweiterung durch Adaptivität. Der Schwerpunkt liegt hierbei auf Optimierungsproblemen, bei denen die Nebenbedingung durch eine partielle Differentialgleichung gegeben ist. Unter der Annahme, dass die Zustandsgleichung in einer Fixpunktformulierung vorliegt, kann das Optimalitätssystem mit einer passenden adjungierten Fixpunktformulierung hergeleitet werden. Ein iterativer Prozess ergibt die One-Shot-Methode, bei der Zustand, adjungierter Zustand und Kontrolle simultan aktualisiert werden. Zunächst wird ein Überblick über die vorhandene Analysis der One-Shot-Methode im endlichdimensionalen Raum gegeben. Daraufhin wird die Methode algorithmisch durch einen zusätzlichen Adaptionsschritt erweitert. Simultan zu dem iterativen Prozess wird das Gitter verfeinert oder vergröbert. Dieses Vorgehen erfordert jedoch die Betrachtung und Konvergenzanalysis der Optimierungsmethode im Funktionenraum. Wir stellen eine Formulierung der One-Shot-Methode im Hilbertraum vor und erarbeiten eine passende Erweiterung der Konvergenzbetrachtungen aus dem endlichdimensionalen Fall. Eine erweiterte Langrange Funktion wird definiert und die Eigenschaft einer exakten Straffunktion bewiesen. Zusätzlich werden Bedingungen hergeleitet, unter denen ein Schritt der One-Shot-Methode Abstieg in der erweiterten Lagrange Funktion gewährleistet. Das Verhalten wird für unterschiedliche Modellprobleme genauer betrachtet. So vereinfacht sich die Analysis für die verteilte Steuerung des Solid Fuel Ignition Modells durch die spezielle Hilbertraumstruktur und die einfache Wahl einer Konstante als Präkonditionierer. Die Fixpunktformulierung wird daraufhin für die Betrachtung der viskosen Burgers Gleichung erweitert. Zusätzlich wird die One-Shot-Methode für die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen untersucht. Neben der verteilten Steuerung wird nun auch die Randsteuerung betrachtet. Die Fixpunktiterationen sowie der Präkonditionierer basieren auf der reduzierten SQP Methode. Durch die Vernächlässigung einiger Linearisierungsterme erhält man erneut die notwendige unabhängige Struktur der Variablen für das One-Shot-Verfahren. Alle drei Modellprobleme werden mittels Finiter-Elemente-Methode diskretisiert und numerisch untersucht. Für das Solid Fuel Ignition Modell und die viskose Burgers Gleichung wird das numerische Verhalten für diverse präkonditionierende Konstanten sowie Regularisierungsparameter analysiert. Die One-Shot-Methode weist ein deutliches gitterunabhängiges Verhalten auf. Dementsprechend verändert sich die Anzahl an Iterationen für eine Optimierung bei Änderung der Freiheitsgrade nicht wesentlich. Daraufhin wird ein zusätzlicher Adaptionsschritt in den Algorithmus eingebaut und die Lösungen auf dem adaptiv verfeinerten Gitter präsentiert. Auch für die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen entwickelt die One-Shot-Methode im Falle des Lid Driven Cavity Problems ein gitterunabhängiges Verhalten. Letztlich wird das Verfahren in der Formoptimierung für ein optimales Tragflügelprofil angewendet. Die Zustandsgleichungen sind hierbei durch die kompressiblen Navier-Stokes Gleichungen gegeben. Zunächst werden die wesentlichen Schritte des gegebenen Simulationsprogramms PADGE erläutert. Dies umfasst die Diskretisierung mittels diskontinuierlicher Galerkin-Methode sowie die Beschreibung der adjungierten Navier-Stokes Gleichungen. Eine adjungierte Iteration wird hergeleitet und die Berechnung der Formableitung vorgestellt. Schließlich wird die adaptive One-Shot-Methode für die Widerstandsminimierung bei einem NACA0012 Profil getestet.

This thesis is concerned with the function space analysis of the one-shot method as well as its algorithmic extension by adaptivity. We consider optimization problems, where the constraint is given in terms of a partial differential equation. Based on a fixed-point formulation of the state equation, it is possible to compute the first-order optimality system of the optimization problem. An adequate fixed-point formulation of the adjoint equation is given. Introducing an iterative procedure, the one-shot method can be set up. The updates of state, adjoint state and design variable operate fully simultaneously. We review the convergence analysis in finite dimensions and extend the method algorithmically by an additional adaptive step. Simultaneous to the optimization, the mesh is refined or coarsened. The variation in the dimension of the variables during the optimization asks for an analysis of the method in function spaces. We present a formulation of the one-shot method as well as a convergence analysis in a Hilbert space setting. The convergence proof follows the same idea as in finite dimensions. An augmented Lagrangian is defined, which acts as an exact penalty function. Furthermore, it can be shown, that one step of the one-shot method yields descent on the augmented Lagrangian. We consider the behavior for several model problems in more detail. The distributed control of the solid fuel ignition model enables the analysis of the method in an easy setting in terms of the fixed-point operators as well as the chosen preconditioner, which is initially chosen as a constant. The choice of the fixed-point formulation is improved for the distributed control of the viscous Burgers equation. As a last model problem the incompressible Navier-Stokes equations are analyzed. Here, the fixed-point formulation as well the preconditioner are improved. Based on a reduced SQP method coupled with a BFGS update for the reduced Hessian, we obtain the structure for the one-shot method by dropping further linearization terms. Next to the distributed control case, we also analyze the boundary control problem. All three model problems are discretized by finite elements and investigated numerically. For the solid fuel ignition model and the viscous Burgers equation various preconditioning constants and regularization parameters are tested. Clearly, the one-shot method shows a mesh-independent behavior. Therefore, for several degrees of freedom the optimization results in a similar number of iterations in total. An additional adaptive step is included in the algorithm and solutions on the adapted grids are presented. Also for the incompressible Navier-Stokes equations the one-shot method develops a mesh-independent behavior. The numerical behavior is studied for the lid driven cavity problem. Finally, the adaptive one-shot method is applied to an aerodynamic optimization problem. In particular, we consider the shape optimization of an airfoil with the state equations given by the compressible Navier-Stokes equations. First, the relevant aspects of the given simulation code PADGE are introduced. In detail, we introduce the discretization by the discontinuous Galerkin method as well as the adjoint Navier-Stokes equations. Afterwards, an iterative adjoint solver necessary for the one-shot optimization is set up and the computation of the shape derivative explained. The one-shot method is tested for the shape optimization of a NACA0012 airfoil by minimizing the drag. The results underline the positive effect of adaptivity during the optimization due to the increasing accuracy.

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