The level set method for capturing interfaces with applications in two-phase flow problems

Loch, Eva; Reusken, Arnold

doi:999910321141

The level set method for capturing interfaces with applications in two-phase flow problems = Die Level-Set-Methode zur Bestimmung von bewegten Phasengrenzen mit Anwendung in Zwei-Phasen-Strömungsproblemen

Loch, Eva (Author)

2013

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Eva Loch

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2013

Umfang174 S. : Ill., graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2013

Zsfassung in dt. und engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Reusken, Arnold (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2013-09-04

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-47461
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229393/files/4746.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Level-Set-Methode (Genormte SW) ; Finite-Elemente-Methode (Genormte SW) ; Diskontinuierliche Galerkin-Methode (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; SUPG-Methode (frei) ; Discontinuous-Galerkin-Methode (frei) ; level set method (frei) ; finite element methods (frei) ; SUPG method (frei) ; discontinuous Galerkin method (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
ccs: G.1.8

Kurzfassung
Bewegte Phasengrenzen treten in vielen wissenschaftlichen und ingenieurwissenschaftlichen Problemen auf. Zu Beispiel ist die Phasengrenze in Verbrennungsproblemen die Grenze zwischen verbrannten und nicht-verbrannten Regionen, und in Multi-Phasen-Strömungsproblemen ist die Phasengrenze die Grenze zwischen nicht-mischbaren Fluiden. Es gibt viele Methoden eine Phasengrenze zu bestimmen. In dieser Doktorarbeit liegt der Schwerpunkt auf der so genannten Levelset-Methode. In einer Levelset-Methode wird die Phasengrenze implizit als Nulllevel der so genannten Levelset-Funktion definiert. Die Bewegung der Phasengrenze ist implizit durch die Bewegung der Levelset-Funktion, die durch die so genannten Levelset-Gleichung beschrieben wird, gegeben. Dieser Ansatz macht die Methode robust gegen topologische Änderungen der Phasengrenze. Trotz des Nachteils, dass sie oft unter Masseverlusten, die durch die numerischen Diskretisierungsverfahren verursacht werden, leidet, ist die Levelset-Methode eine gängige Methode in der numerischen Strömungsdynamik. Es gibt viele Ansätze die Levelset-Gleichung numerisch zu lösen. Zum Beispiel werden Finite-Differenzen-Methoden wie ENO- und WENO-Verfahren häufig benutzt. Auch Diskretisierungen der Levelset-Gleichung mittels Finite-Volumen-Verfahren oder Finite-Elemente-Methoden sind in der Literatur vorhanden. In dieser Doktorarbeit legen wir das Augenmerk auf die örtliche Diskretisierung der Levelset-Gleichung mit Finite-Elemente-Methoden kombiniert mit einem Zeitschrittverfahren. D.h. wir benutzten die Methode der Linien. Zuerst wird also die örtliche Diskretisierung der Levelset-Gleichung durchgeführt und anschließend das so entstandene System gewöhnlicher Differentialgleichungen mittels eines Zeitschrittverfahrens diskretisiert. Das Ziel ist es zwei verschiedene örtliche Finite-Elemente-Diskretisierungsmethoden zu vergleichen. Die erste Methode, die Streamline-Upwind-Petrov-Galerkin (SUPG) Methode, basiert auf stetigen Finiten Elementen und ist eine bekannte stabilisierte Finite-Elemente-Methode. Eine Analyse der SUPG-Methode angewandt auf die Levelset-Gleichung ist in der neueren Literatur vorhanden [Burman2009]. Die zweite Methode ist eine Discontinuous Galerkin (DG) Methode mit UpWind-Fluss. In dieser Methode werden Unstetigkeiten der Finite-Elemente-Funktion an den Elementgrenzen zugelassen. DG-Methoden wurden bereits für die örtliche Diskretisierung der Levelset-Gleichung benutzt. In dieser Doktorarbeit präsentieren wir eine Analyse der DG-Methode mit UpWind-Fluss angewandt zur örtlichen Diskretisierung der Levelset-Gleichung auf einem beschränkten Gebiet in $R^d$, $d=2,3$, kombiniert mit dem Crank-Nicolson-Verfahren für die Zeitdiskretisierung. Unseres Wissens gibt es bisher keine Literatur zu diesem speziellen Problem. Da das Ziel der Levelset-Methode die Bestimmung der bewegten Phasengrenze ist, ist der Fehler zwischen der exakten Phasengrenze und der approximativen Phasengrenze eine wichtige Größe. Für beide Methoden wird eine Fehlerschranke hergeleitet. Eine zweite wichtige Größe in Bezug auf die Levelset-Methode ist das Volumen, das von der Phasengrenze eingeschlossen wird. Im Fall der SUPG-Methode leiten wir auch eine Fehlerschranke für den Volumenfehler her. Die SUPG-Methode und die DG-Methode werden systematisch bezüglich der theoretischen Fehlerschranken und experimentellen Ergebnissen verglichen. Die theoretischen Fehlerschranken haben die gleiche Ordnung. Allerdings sind die gemessenen Fehler und die Ordnungen in numerischen Experimenten unterschiedlich. Ein signifikanter Unterschied zwischen den beiden Methoden ist die Anzahl der Unbekannten. Um eine Aussage treffen zu können, vergleichen wir die gemessenen Fehler relativ zu der Anzahl der Unbekannten. Bezüglich dieses Kriteriums erzielt die SUPG-Methode in den meisten Testfällen etwas bessere Ergebnisse. Des weiteren werden beide Methoden benutzt um die Phasengrenze in einer Zwei-Phasen-Strömungssimulation eines aufsteigenden Butanoltropfens in Wasser zu bestimmen. Dafür wurden beide Methoden in den Zwei-Phasen-Strömungslöser DROPS, der am Lehrstuhl für Numerische Mathematik der RWTH-Aachen entwickelt wird, implementiert. Wir vergleichen die finale Aufstiegsgeschwindigkeit und die Form des Tropfens. Die Ergebnisse der Simulationen mit der SUPG-Methode und der DG-Methode sind sehr ähnlich. Allerdings war es nötig die Levelset-Funktion während der Berechnung von Zeit zu Zeit zu reinitialisieren und eine Volumenkorrekturstrategie in jedem Zeit schritt zu verwenden, um physikalisch aussagekräftige Ergebnisse zu erhalten. Folglich ist ein direkter Vergleich der Ergebnisse schwierig. Wir führten die Simulationen noch ein Mal ohne Volumenkorrektur durch, um die Volumenerhaltungseigenschaften der beiden Methoden zu vergleichen. Hierbei erzielte die DG-Methode ein besseres Ergebnis.

Moving interfaces occur in many scientific and engineering problems. For example, in combustion problems the interface is the boundary between burned and unburned regions, and in multi-phase flow problems the interface is the boundary between immiscible fluids. There are many methods to detect the moving interface. In this thesis we focus on the so-called level set method. In a level set method one defines the interface implicitly as the zero level of the so-called level set function. The movement of the interface is implicitly given by the movement of the level set function, which is described by the so-called level set equation. This approach renders the method robust with respect to topological changes of the interface. Despite the drawback that it often suffers from mass loss, which is caused by the numerical discretization schemes, the level set method is a very popular method in multi-phase computational fluid dynamics (CFD). There are many approaches to solve the level set equation numerically. For instance, finite differencing methods such as ENO and WENO schemes are often used. But also discretizations of the level set equation by means of finite volume schemes or finite element methods can be found in the literature. In this thesis we focus on the spatial discretization of the level set equation by finite element methods combined with a time stepping scheme. That means, we use the method of lines, i.e. first the spatial discretization of the level set equation is performed and then the resulting system of ordinary differential equations (ODEs) is discretized by means of a time stepping scheme. A main objective of this thesis is to compare two different spatial finite element discretization methods. The first method, the Streamline-Upwind-Petrov-Galerkin (SUPG) method, is based on continuous finite elements and is a common stabilized finite element method. An analysis of the SUPG method applied to the level set equation can be found in recent literature [Burman2009]. The second method is a Discontinuous Galerkin (DG) method with upwind flux. In this method the finite element functions are allowed to be discontinuous across the element boundaries. DG methods have already been used for the spatial discretization of the level set equation. In this thesis we present an analysis of the DG method with upwind flux applied for the spatial discretization of the level set equation on a bounded domain in $R^d$, $d=2,3$, combined with the Crank-Nicolson scheme for the time discretization. To our knowledge there is no literature on this particular problem so far. As the objective of the level set equation is to capture the moving interface, the error between the exact interface and the approximate interface is of major interest. For both method an interface error bound is derived. A second important quantity related to the level set method is the volume that is enclosed by the interface. In case of the SUPG method we also derive an error bound for the volume error. The SUPG method and the DG method are systematically compared by means of the theoretical error bounds and experimental results. The theoretical error bounds have the same order. However, in numerical experiments the measured errors and the order differ. A significant difference between the two methods is the number of unknowns. To be able to draw a conclusion we compare the measured errors relative to the number of unknowns. Using this criterion the SUPG method yields slightly better results in most test cases. Furthermore, both methods are used to capture the interface in a two-phase flow simulation of a rising butanol droplet in water. Therefore, both methods are implemented in the two-phase flow solver DROPS, which is developed at the Chair for Numerical Mathematics at RWTH Aachen University. We compare the final rise velocity and the droplet shape. The results of the simulations with the SUPG method and the DG method are very similar. However, during the computation there was the need to re-initialize the level set function from time to time and to use a volume correction strategy in every time step to obtain physically reasonable results. Thus, a direct comparison of the results is difficult. We run the simulations again without volume correction to compare the volume conservation properties of the two methods. Here, the DG method yielded a better result.

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