Divergence measures for generalized order statistics

Vuong, Quan Nhon; Kamps, Udo

doi:4294

Divergence measures for generalized order statistics = Divergenzmaße für verallgemeinerte Ordnungsstatistiken

Vuong, Quan Nhon (Author)

2012 & 2013

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Quan Nhon Vuong

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

UmfangVI, 159 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Prüfungsjahr: 2012. - Publikationsjahr: 2013

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Kamps, Udo (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-07-12

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-42940
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/229103/files/4294.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Ordnungsstatistik (Genormte SW) ; Abstand (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; verallgemeinerte Ordnungsstatistiken (frei) ; generalized order statistics (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Dissertation beschäftigt sich mit der Quantifizierung der Unterscheidbarkeit verschiedener Modelle für geordnete Zufallsvariablen. Dazu werden verallgemeinerte Ordnungsstatistiken betrachtet, mit denen man durch geeignete Parameterwahl jeweils verschiedene solcher Modelle beschreiben kann (z. B. gewöhnliche Ordnungsstatistiken, sequentielle Ordnungsstatistiken, Rekorde, Pfeifer Rekorde oder progressiv Typ-II zensierte Ordnungsstatistiken). Für diese verallgemeinerten Ordnungsstatistiken werden Formeln für verschiedene Abstände in Form von Divergenz- und Distanzmaßen (z. B. Kullback-Leibler-Divergenz, Jeffreys-Distanz, Hellinger-Distanz) hergeleitet. Mit diesen kann man für konkrete Parameterwahlen im Modell den Unterschied zwischen den zugehörigen Verteilungen quantifizieren. Für die Herleitung der Formeln wird die Exponentialfamilienstruktur der Verteilungen von verallgemeinerten Ordnungsstatistiken ausgenutzt. Mit Hilfe der expliziten Darstellungen der Divergenz- und Distanzmaße, die einige bemerkenswerte Eigenschaften gemeinsam haben, werden Beziehungen zwischen verschiedenen Modellen aufgedeckt und benannt. Beispielsweise werden zur Berechnung der betrachteten Abstände nur die komponentenweisen Quotienten der Modellparameter zu den entsprechenden Verteilungen benötigt, was etwa zu strukturellen Parallelen zwischen Modellen von sequentiellen Ordnungsstatistiken und Pfeifer-Rekorden führt. Außerdem spielt die zugrundeliegende Verteilung der geordneten Zufallsvariablen keine Rolle für die Abstände. Als weitere Resultate werden Modelle von Ordnungsstatistiken mit kleinstem Abstand (bezüglich verschiedener Divergenz- und Distanzmaße) zu einem gegebenen Modell von sequentiellen Ordnungsstatistiken bestimmt und deren Eigenschaften untersucht. Damit kann eine alternative Modellierung mit gewöhnlichen Ordnungsstatistiken in Betracht gezogen werden, wenn diese gegenüber einer Modellierung mit sequentiellen Ordnungsstatistiken vorteilhaft ist. Außerdem werden verschiedene Modelle geordneter Zufallsgrößen mit ihren Parametervektoren identifiziert und als Punkte im Euklidischen Raum interpretiert und dargestellt. In diesem Zusammenhang werden auch Sphären und Kugeln bezüglich verschiedener Divergenz- und Distanzmaße untersucht. Als Beispiele für Anwendungen, die durch die expliziten Darstellungen der Divergenz- und Distanzmaße für Modelle verallgemeinerter Ordnungsstatistiken unmittelbar zur Verfügung stehen, werden mehrdimensionale Konfidenzbereiche, Homogenitätstest für t>2 Populationen sowie ein neues Punktschätzungsverfahren vorgestellt. Die impliziten Konfidenzbereiche werden anhand ihres Volumens empirisch mit Hilfe von Simulationen verglichen. Die Homogenitätstests beziehen sich auf asymptotische Tests basierend auf Divergenzmaßen für Exponentialfamilien aus der Literatur. Ein solcher Test wird an einem Beispiel für sequentielle Ordnungsstatistiken mit dem entsprechenden exakten Test verglichen. Das neue Schätzungsverfahren Equal-Distance-Estimation basiert auf dem Maximum-Likelihood-Schätzer und einer Vorschätzung, indem es gleichen Abstand des Equal-Distance-Estimators zu beidem fordert. Erste Untersuchungen für den Fall mit einem Parameter belegen, dass es Situationen gibt, in denen der Equal-Distance-Estimator sowohl der Vorschätzung als auch dem Maximum-Likelihood-Schätzer vorzuziehen ist. Eine durchgeführte Simulationsstudie deutet auf ein noch größeres Potential im Fall mit mehreren Parametern hin.

The dissertation deals with the quantification of the differences between various models for ordered random variables. For this, generalized order statistics are considered, with which many different of such models can be described by appropriate choice of parameters (e.g., ordinary order statistics, sequential order statistics, record values, Pfeifer record values, and progressively Type II censored order statistics). For generalized order statistics, formulas for various divergence and distance measures (such as Kullback-Leibler divergence, Jeffreys distance, and Hellinger distance) are derived. Using the latter, the dissimilarity of different distributions for specific model parameter choices can be quantified. For the derivation of the formulas the exponential family structure of the distributions of generalized order statistics is exploited. Using the explicit representations of the divergence and distance measures, which have some remarkable properties in common, relations between different models are identified and named. For example, to calculate the divergences and distances only the componentwise model parameter ratios corresponding to the respective distributions are required, which, for example, leads to some structural similarities between models of sequential order statistics and Pfeifer record values. Moreover, the underlying distribution of the ordered random variables is irrelevant for the divergences and distances. Further results are obtained by deriving and analyzing models of order statistics which are closest (with respect to different divergence and distance measures) to a given model of sequential order statistics. Thus, an alternative modeling with ordinary order statistics can be considered if it is advantageous over a model with sequential order statistics for one’s purposes. In addition, the different models are identified with their parameter vectors, and interpreted and presented as points in Euclidean space. In this context, spheres and balls with respect to different divergence and distance measures are investigated and illustrated. As examples of applications that are directly enabled by the explicit representations of the divergence and distance measures for models of generalized order statistics, multi-dimensional confidence regions, homogeneity test for t> 2 populations, and a new point estimation method are presented. The implicit confidence regions are empirically compared with respect to their volumes using simulations. The description of homogeneity tests refers to asymptotic tests for exponential families which are based on a divergence measure and can be found in the literature. Such a test is compared for an example of sequential order statistics with the corresponding exact test. The new approach equal distance estimation is based on the maximum likelihood estimator and a pre-estimate using some prior information about the parameter to be estimated. It requires equal distance of the equal distance estimator to both other estimates. First studies demonstrated for the case with one parameter that there are situations in which the equal distance estimator is preferable to both, the maximum likelihood estimator and the pre-estimate. A performed simulation study indicates an even greater potential in the multi-parameter case.

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