An L 3 -U 3 -quotient algorithm for finitely presented groups

Jambor, Sebastian; Plesken, Wilhelm

doi:4215

An L 3 -U 3 -quotient algorithm for finitely presented groups = Ein L3-U3-Quotientenalgorithmus für endlich präsentierte Gruppen

Jambor, Sebastian (Author)

2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Sebastian Georg Reinhold Jambor

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

Umfang108 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Plesken, Wilhelm (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-07-17

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-42153
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/82850/files/4215.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Algebraischer Algorithmus (Genormte SW) ; Algorithmus (Genormte SW) ; Einfache Gruppe (Genormte SW) ; Endliche einfache Gruppe (Genormte SW) ; Charakter <Gruppentheorie> (Genormte SW) ; Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Kommutative Algebra (Genormte SW) ; Assoziiertes Primideal (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; finitely presented groups (frei) ; representation theory (frei) ; commutative algebra (frei) ; minimal associated primes (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Die Dissertation beschreibt die Entwicklung eines L3-U3-Quotientenalgorithmus für endlich präsentierte Gruppen auf zwei Erzeugern, der alle Faktorgruppen einer endlich präsentierten Gruppe auflistet, die isomorph sind zu einer der Gruppen PSL(3, q), PSU(3, q), PGL(3, q) oder PGU(3, q). Dabei ist q eine beliebige Primzahlpotenz, die nicht Teil der Eingabe ist, das heißt, der Algorithmus findet selbständig alle möglichen Wahlen für q. Die Motivation für einen solchen Algorithmus ist es, endlich präsentierte Gruppen zu untersuchen und zu verstehen. Ergebnisse aus den Fünfzigerjahren des letzten Jahrhunderts zeigen, dass fundamentale Fragen, die diese Gruppen betreffen, im Allgemeinen nicht entscheidbar sind. Das berühmteste unter ihnen ist das sogenannte Wortproblem, das besagt, dass es keinen Algorithmus gibt, der die Gleichheit von zwei Elementen einer endlich präsentierten Gruppe testen kann. Dennoch wurden erfolgreich Algorithmen entwickelt, die strukturelle Aussagen über solche Gruppen treffen können. Eine Klasse solcher Algorithmen sind die Quotientenalgorithmen, die für eine gegebene endlich präsentierte Gruppe alle Faktorgruppen einer gewissen Struktur zu bestimmen. Bis vor wenigen Jahren waren alle diese Algorithmen entweder auf eine endliche Menge von Faktorgruppen oder auf auflösbare Gruppen begrenzt. Im Jahr 2009 entwickelten Plesken und Fabia'nska einen Algorithmus, der Faktorgruppen einer unendliche Klasse von nicht-auflösbaren endlichen Gruppen betrachtet. Er bestimmt alle Faktorgruppen einer endlich präsentierten Gruppe G, die isomorph sind zu einer der Gruppen PSL(2, q) oder PGL(2,q), gleichzeitig für alle Primzahlpotenzen q. Die vorligende Doktorarbeit ist eine Weiterentwicklung dieser Ideen. Für die Formulierung des Algorithmus werden Ergebnisse aus der Darstellungstheorie und aus der kommutativen Algebra benötigt. Diese werden in der Arbeit formuliert und bewiesen. Der Charakter einer Darstellung ist seit über hundert Jahren ein wichtiges Hilfsmittel in der gewöhnlichen Darstellungstheorie, also von Darstellungen endlicher Gruppen über Körpern von Charakteristik Null. Die Resultate dieser Arbeit zeigen, dass er auch für Darstellungen beliebiger Gruppen in beliebiger Charakteristik als wertvolles Hilfsmittel angewandt werden kann. Eine Methode aus der kommutativen Algebra ist die Bestimmung von minimalen assoziierten Primidealen eines Ideals. In der Dissertation wird ein Algorithmus vorgestellt, der die Laufzeiten bestehender Algorithmen für wichtige Beispiele verbessert. Die Ergebnisse sowohl der Darstellungstheorie als auch der kommutativen Algebra werden in der Arbeit auf den Algorithmus angewandt, sie sind aber auch von allgemeinem Interesse. Der L3-U3-Quotientenalgoritmus ist im Computeralgebrasystem Magma implementiert. Diese Implementation wird angewandt, um zahlreiche Beispiele von endlich präsentierten Gruppen zu untersuchen. Außerdem werden die Resultate der Arbeit angewandt, um Verallgemeinerungen von Resultaten von P. Hall und Lubotzky zu beweisen.

The thesis describes the development of an L3-U3-quotient algorithm for finitely presented groups on two generators, which finds all factor groups of a finitely presented group which are isomorphic to one of the groups PSL(3, q), PSU(3, q), PGL(3, q), or PGU(3, q). Here q is an arbitrary prime power which is not part of the input of the algorithm, so the algorithm finds all possible choices of q by itself. The motivation for such an algorithm is to study and understand finitely presented groups. Results from the middle of the last century show that central questions concerning these groups are undecidable in general. The most famous is the word-problem: there cannot exist an algorithm which decides the equality of two elements of a finitely presented group. Nevertheless, algorithms have been developed which give structural information about finitely presented groups. One class of such algorithms are the quotient algorithms, which find all factor groups of a given finitely presented group that have a certain structure. Until a few years ago, all of those algorithms only worked for a finite set of factor groups or for soluble groups. In 2009, Plesken and Fabia'nska developed the first algorithm which can compute all factor groups in an infinite class of non-soluble groups. It determines all factor groups of a finitely presented group G which are isomorphic to one of the groups PSL(2, q) or PGL(2,q), simultaneously for any prime power q. The present thesis is a continuation of those ideas. For the formulation of the algorithm, various results from representation theory and from commutative algebra are needed. These are stated and proved in this work. The character of a representation has been an important tool in ordinary representation theory, i.e., of representations of finite groups over fields of characteristic zero. The results in this thesis show that it is still an invaluable tool for representations of arbitrary groups over arbitrary fields. A method in commutative algebra is the determination of all minimal associated prime ideals of a given ideal. This dissertation presents an algorithm which improves on the runtime of existing algorithms for important examples. The results in representation theory and in commutative algebra are applied to the L3-U3-quotient algorithm, but they are of general interest as well. The L3-U3-quotient algorithm is implemented in the computer algebra system Magma. This implementation is applied to several examples of finitely presented groups. Furthermore, results of this thesis are used to prove generalizations of theorems of P. Hall and Lubotzky.

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