Analysis of the first variation and a numerical gradient flow for integral Menger curvature

Hermes, Tobias; von der Mosel, Heiko

doi:31729

Analysis of the first variation and a numerical gradient flow for integral Menger curvature = Analysis der ersten Variation und ein numerischer Gradientenfluss für „integral Menger curvature”

Hermes, Tobias (Author)

2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Tobias Hermes

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2012

UmfangX, 122 S. : Ill.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2012

Zsfassung in engl. und dt. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
von der Mosel, Heiko (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2012-06-14

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-41869
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/82904/files/4186.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Gradientenfluss (Genormte SW) ; Knoten <Mathematik> (Genormte SW) ; Variationsrechnung (Genormte SW) ; Numerische Mathematik (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Knotenenergie (frei) ; knot energy (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 28A75 * 53A04 * 49Q10

Kurzfassung
In dieser Arbeit beschäftigen wir uns mit der Knotenenergie "integral Menger curvature", dem dreifachen Integral über den Kehrwert des klassischen Umkreisradius von drei unterschiedlichen Punkten auf der gegebenen Kurve zur Potenz $pin [2,infty)$. Wir beweisen die Existenz der ersten Variation für eine Teilmenge eines bestimmten gebrochenen Sobolev Raumes für p>3 und ansonsten für eine Teilmenge eines bestimmten Hölder Raumes. Wir diskutieren außerdem, wie gebrochene Sobolev und Hölder Räume für 2pi-periodische, geschlossene Kurven verallgemeinert werden können. Da diese Energie nicht skalierungsinvariant ist, betrachten wir zusätzlich eine reskalierte Variante der Energie, bei der man die Energie zur Potenz eins durch p nimmt und mit der Länge zu einer bestimmten Potenz multipliziert. Wir beweisen, dass der Kreis zumindest ein stationärer Punkt der reskalierten Energie ist. Des Weiteren zeigen wir, dass im Allgemeinen ein Funktional, das ein Skalierungsverhalten $E(rgamma)=r^alpha E(gamma)$, $alphainR$ besitzt, nur dann stationäre Punkte haben kann, falls alpha=0. Daraus folgt, dass die "integral Menger curvature" für $peq 3$ als Nebenbedingung für eine Lagrange-Multiplikator Regel verwendet werden kann. Wir betrachten einen numerischen Gradientenfluss für die reskalierte Energie. Hierzu verwenden wir trigonometrische Polynome zur Approximation der Knoten und die Trapezregel zur numerischen Integration, die in diesem Fall sehr effizient ist. Ferner leiten wir eine geeignete Darstellung der ersten Variation her. Wir präsentieren einen Algorithmus zur adaptiven Wahl der Zeitschrittweite und für die Neuverteilung der Fourier Koeffizienten. Im Anschluss an die Erörterung der vollständigen Diskretisierung zeigen wir eine umfangreiche Sammlung von Beispiel-Flüssen.

In this thesis, we consider the knot energy "integral Menger curvature" which is the triple integral over the inverse of the classic circumradius of three distinct points on the given knot to the power $pin [2,infty)$. We prove the existence of the first variation for a subset of a certain fractional Sobolev space if p>3 and for a subset of a certain Hölder space otherwise. We also discuss how fractional Sobolev and Hölder spaces can be generalised for 2pi-periodic, closed curves. Since this energy is not invariant under scaling, we additionally consider a rescaled version of the energy, where we take the energy to the power one over p and multiply by the length of the curve to a certain power. We prove that a circle is at least a stationary point of the rescaled energy. Furthermore, we show that in general a functional with a scaling behaviour like $E(rgamma)=r^alpha E(gamma)$, $alphainR$ cannot have stationary points unless alpha=0. Consequently "integral Menger curvature" for $peq 3$ can be used as a subsidiary condition for a Lagrange-multiplier rule. We consider a numerical gradient flow for the rescaled energy. For this purpose we use trigonometric polynomials to approximate the knots and the trapezoidal rule for numerical integration, which is very efficient in this case. Moreover, we derive a suitable representation of the first variation. We present an algorithm for the adaptive choice of time step size and for the redistribution of the Fourier coefficients. After discussing the full discretization we present a wide collection of example flows.

Fulltext:
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