Difference equations with semisimple Galois groups in positive characteristic

Maier, Annette; Hartmann, Julia

doi:urn:nbn:de:hbz:82-opus-39092

Difference equations with semisimple Galois groups in positive characteristic = Differenzengleichungen mit halbeinfachen Galoisgruppen in positiver Charakteristik

Maier, Annette (Author)

2011 & 2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Annette Maier

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2011

Umfang135 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Prüfungsjahr: 2011. - Publikationsjahr: 2012

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hartmann, Julia (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2011-12-16

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-39092
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/52331/files/3909.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Lineare Differenzengleichung (Genormte SW) ; Frobenius-Endomorphismus (Genormte SW) ; Galois-Theorie (Genormte SW) ; Galois-Gruppe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Differenzen Galoistheorie (frei) ; Differenzengleichungen (frei) ; Frobeniusmoduln (frei) ; Algebraische Gruppen (frei) ; Klassische Gruppen (frei) ; difference Galois theory (frei) ; difference equations (frei) ; Frobenius modules (frei) ; algebraic groups (frei) ; classical groups (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Sei F ein Körper und sigma ein Automorphismus auf F. Eine (lineare) Differenzengleichung über F ist eine Gleichung der Form sigma(y)=Ay, wobei A ein Element in GL_n(F) und y einen Vektor mit n Unbestimmten bezeichnet. Man kann dann Lösungen in Erweiterungskörpern von F betrachten und so genannte Picard-Vessiot Ringe definieren, welche ein maximal unabhängiges System von Lösungen enthalten und gleichzeitig auf eine gewisse Weise minimal mit dieser Eigenschaft sind. Falls ein solcher Picard-Vessiot Ring zu der gegebenen Differenzengleichung existiert, kann man ihm eine lineare algebraische Gruppe, die Differenzen-Galoisgruppe, zuordnen. Sei nun F = F_q(s,t) und sigma der Automorphismus auf F, der F_q(t) punktweise fixiert und s auf s^q abbildet. Das Hauptresultat der vorliegenden Dissertation besagt, dass folgende Gruppen als Differenzen-Galoisgruppen über F vorkommen: die speziellen linearen Gruppen SL_n, die symplektischen Gruppen Sp_(2d), die speziellen orthogonalen Gruppen SO_n (wobei hier q ungerade vorausgesetzt wird) und die Dickson Gruppe G_2. Für all diese Gruppen werden explizite Differenzengleichungen angegeben. Weiterhin wird gezeigt, dass jede halbeinfache, einfach zusammenhängende Gruppe G, die über F_q definiert ist, für ein geeignetes i als Differenzen-Galoisgruppe über F_(q^i)(s,t) vorkommt, wobei dann sigma(s)=s^(q^i). Da alle betrachteten Gruppen zusammenhängend sind, können diese Ergebnisse von F_q(s,t) nach F_q(s)'(t) geliftet werden, wobei F_q(s)' einen algebraischen Abschluss von F_q(s) bezeichne. Dies führt zu so genannten rigid analytisch trivialen Prä-t-Motiven mit denselben Galoisgruppen. Die Kategorie der rigid analytisch trivialen Prä-t-Motive enthält die Kategorie der t-Motive, welche in der Arithmetik von Funktionenkörpern von Interesse ist.

Let F be a field with an automorphism sigma on F. A (linear) difference equation over F is an equation of the form sigma(y)=Ay with A in GL_n(F) and y a vector consisting of n indeterminates. There is the notion of a Picard-Vessiot ring which is in some sense a "smallest" difference ring extension R of F such that there exists a full set of solutions with entries in R to the given difference equation. If there exists a Picard-Vessiot ring, one can assign a difference Galois group to the Picard-Vessiot ring, which turns out to be a linear algebraic group (in the scheme theoretic sense). Let F = F_q(s,t) with sigma defined to be the automorphism that fixes F_q(t) pointwise and maps s to s^q. The main result of this thesis is that the following groups occur as difference Galois groups over F: the special linear groups SL_n, the symplectic groups Sp_2d, the special orthogonal groups SO_n (here we have to assume q odd), and the Dickson group G_2 (in both cases q odd and even). We give explicit difference equations for all of these groups. As another result, we show that every semisimple and simply-connected group G that is defined over F_q occurs as a difference Galois group over F_(q^i)(s,t) for some i, where now sigma(s)=s^(q^i). Let F_q(s)' denote an algebraic closure of F_q(s). We can lift our difference equations from F_q(s,t) to F_q(s)'(t) using the fact that all of our constructed Galois groups are connected. As a result we obtain rigid analytically trivial pre-t-motives with the same Galois groups. The category of rigid analytically trivial pre-t-motives contains the category of t-motives, which occurs in the arithmetic of function fields.

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