Über Struktur und Kohomologie von Moduln symmetrischer Gruppen

Weber, Christian; Hiß, Gerhard

doi:999910058222

Über Struktur und Kohomologie von Moduln symmetrischer Gruppen = On structure and cohomology of symmetric group modules

Weber, Christian (Author)

2011

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Christian Weber

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2011

Umfang219 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2011-07-22

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-37644
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/64276/files/3764.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Symmetrische Gruppe (Genormte SW) ; Kohomologie (Genormte SW) ; Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Spechtmoduln (frei) ; symmetric group (frei) ; cohomolgoy (frei) ; representation theory (frei) ; Specht modules (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Während die gewöhnliche Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen im Wesentlichen gut erforscht ist, sind bei der modularen Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen noch viele Fragen offen. Auch über die Kohomologie von S_n-Moduln weiß man insgesamt noch wenig. Im Berührungsbereich der beiden letzteren Gebiete setzt die vorliegende Arbeit an. Es werden Möglichkeiten ausgelotet, Aussagen über die erste und zweite Kohomologie bestimmter S_n-Moduln zu treffen. Im Zentrum stehen Spechtmoduln, einerseits über den ganzen Zahlen, andererseits über Körpern von Primzahlcharakteristik p und insbesondere auch, als Bindeglied, über den p-adischen ganzen Zahlen. Über dem Körper F_2 werden zusätzlich Permutationsmoduln, Youngmoduln, einfache Moduln und duale Spechtmoduln betrachtet. Ein wichtiges Hilfsmittel bei diesen Untersuchungen ist der Young-Graph, ein gerichteter Graph, dessen Knotenmenge aus allen Partitionen aller nichtnegativen ganzen Zahlen besteht. Bestimmte induzierte Teilgraphen liefern durch ihre Struktur und Wechselbeziehungen Informationen über die Kohomologie der zu den darin enthaltenen Partitionen gehörigen Spechtmoduln. Im Fall der ungeraden Primzahlen p wird eine Methode von David Hemmer aufgegriffen, die es ermöglicht, auf kombinatorischer Basis zu entscheiden, ob die erste Kohomologie eines Spechtmoduls über einem Körper der Charakteristik p trivial ist oder nicht. Die Handhabung dieser Methode wird verbessert, und in Kombination mit den Teilgraphen des Young-Graphen gelangt man so zu Informationen über die Kohomologie von Spechtmoduln, die jede dieser Herangehensweisen für sich allein genommen nicht liefern kann. Im Fall p = 2 ist Hemmers Methode nicht anwendbar. Hier wird ein anderer Weg eingeschlagen: Durch geschickte Vernetzung geeigneter exakter Kohomologiesequenzen können diverse Kohomologiegruppen zu bestimmten F_2S_n-Moduln auf bereits bekannte Kohomologien zurückgeführt werden. Hierzu ist die Kenntnis der Untermodulverbände bestimmter F_2S_n-Moduln, insbesondere Youngmoduln, erforderlich, von denen einige im Rahmen dieser Arbeit ermittelt wurden. Ein zentrales Thema der Arbeit ist außerdem die Suche nach Partitionen lambda, für die bei einem gegebenen Paar aus einer Primzahl p und einer natürlichen Zahl iota mit p*iota <= n gilt, dass die zweite Kohomologie des zugehörigen Spechtmoduls über Z ein Element enthält, das bei Restriktion auf eine zyklische Untergruppe der S_n, die von einem Produkt aus iota disjunkten p-Zykeln erzeugt wird, nicht auf 0 abgebildet wird. Dieses Problem wird sowohl theoretisch als auch rechnerisch angegangen. Motiviert ist das Interesse an solchen Partitionen durch eine Vermutung von Andrzej Szczepanski, die im Spezialfall der symmetrischen Gruppen besagt: Für jedes n existiert ein Q-vielfachheitsfreies, treues ZS_n-Gitter V, für das die zweite Kohomologiegruppe H^2(S_n,V) ein Element besitzt, das für jede nichttriviale Untergruppe U von S_n bei Restriktion auf U nicht auf 0 abgebildet wird. Mit Hilfe der hier verwendeten Methoden werden neue Wege zu einem möglichen Beweis dieser Aussage aufgezeigt; insbesondere wird die Vermutung für n <= 13 bewiesen.

Ordinary representation theory of the symmetric groups is quite well understood, but there are still many open questions concerning modular representation theory of the symmetric groups. About cohomology of S_n-modules, there is little known as well. This thesis has its starting point where the latter two fields meet. Possibilities of making statements about first and second cohomology of certain S_n-modules are explored. In the center of attention there are Specht modules, on the one hand over the integers, on the other hand over fields of prime characteristic p and also, as a link, over the p-adic integers. Over the field F_2, permutation modules, Young modules, irreducible modules and dual Specht modules are considered in addition. An important tool for this research is the Young graph, a directed graph whose vertices are given by all partitions of all nonnegative integers. Certain induced subgraphs provide - by their structure and interrelations - information about cohomology of the Specht modules corresponding to the contained partitions. In the case of odd primes p, a method of David Hemmer is taken up, that allows to decide on a combinatorial basis whether first cohomology of a Specht module over a field of characteristic p is trivial or not. The handling of this method gets improved, and in combination with the subgraphs of the Young graph, information about cohomology of Specht modules is obtained, that each of both approaches alone cannot give. In the case p = 2, Hemmer's method does not work. Here we go a different way: By subtle linking of appropriate exact cohomology sequences, several cohomology groups of certain F_2S_n-modules can be traced back to cohomologies that are already known. For this purpose we need to know the submodule lattices of certain F_2S_n-modules, especially Young modules. Some of them are determined in this thesis. A further central topic of this thesis is the search for partitions lambda with the following property: For a given pair of a prime p and a natural number iota with p*iota <= n, the second cohomology of the corresponding integral Specht module contains an element, that is not mapped to 0 by restriction to a cyclic subgroup of S_n, generated by a product of iota disjoint p-cycles. This problem is approached theoretically as well as computationally. The interest for such partitions is motivated by a conjecture of Andrzej Szczepanski, that - in the special case of symmetric groups - says: For every n there exists a Q-multiplicity free faithful ZS_n-lattice V, such that the second cohomology group H^2(S_n,V) contains an element, that is not mapped to 0 by restriction to any nontrivial subgroup of S_n. Via the methods used here, there are new ways to a potential proof of this statements highlighted; in particular, the conjecture is proved for n <= 13.

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