Solutions for fourth order parabolic equation modeling epitaxial thin film growth

Sandjo, Albert N.; Wiegner, Michael

doi:3760

Solutions for fourth order parabolic equation modeling epitaxial thin film growth = Schwache Lösung der nichtlinearen parabolischen Differentialgleichung vierter Ordnung, welche das epitaxiale Dünnfilmwachstum beschreibt

Sandjo, Albert N. (Author)

2011 & 2012

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Albert Nana Sandjo

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2011

Umfang82 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Zsfassung in dt. und engl. Sprache. - Prüfungsjahr: 2011. - Publikationsjahr: 2012

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Wiegner, Michael (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2011-08-02

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-37602
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/82847/files/3760.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Dünne Schicht (Genormte SW) ; Nichtlineare parabolische Differentialgleichung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Kato's Stategie (frei) ; Kato's Methode (frei) ; Dünnschicht (frei) ; epitaxiale Dünnschichtwachstum (frei) ; Kato's strategy (frei) ; Kato's method (frei) ; thin film (frei) ; thin film grow (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Dissertation wird ein kontinuierliches Modell analysiert, welches das epitaxiale Dünnfilmwachstum beschreibt. Auf einem beschränkten Gebiet wird das Wachstum des Dünnfilms physikalisch durch folgende nichtlineare parabolische Differentialgleichung vierter Ordnung modelliert. Bisherige Resultate über parabolische Differentialgleichungen höherer Ordnung, insbesondere vierter Ordnung, beziehen sich auf unbeschränktes Gebiet und sind daher für praktische Anwendungen (epitaxiale Dünnfilmwachstum, Bildverarbeitung, Cahn-Hilliard Gleichung) wenig geeignet. Nur wenige Arbeiten beschäftigen sich mit dem realistischen Fall eines beschränkten Gebietes. Eingeleitet durch die Arbeit von T. Kato wurde das Interesse im letzten Jahrzehnt auf milde Lösungen für Differentialgleichungen höherer Ordnung gelenkt. Alle bekannten Ergebnisse beruhen auf Varianten von Katos Methode mit welcher globale Lösungen mittels einer Fixpunktiteration konstruiert werden. In dieser Arbeit werden zwei Fälle betrachtet, die sich durch unterschiedliche Annahmenan die Funktion f auszeichnen. Im ersten Fall werden unter Verwendung einer Interpolations-Extrapolations-Methode die Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösung bewiesen. Im zweiten Fall wird eine Integralform der Differentialgleichung betrachtet und mittles sukzessiver Approximation sowie Lp-Lq-Abschäatzungen von analytischen Halbgruppen die Existenz von Lösungen gezeigt. Die Beweisidee basiert auf einer Arbeit von Wiegner, der die Lösung von parabolischen Differentialgleichungen zweiter Ordnung (Navier-Stokes-Gleichungen) schon mit Lp-Lq-Abschätzugen zeigt. Im vorliegenden Fall (vierter Ordnung) wird zusätzlich eine Lp-Lq-Abschätzung der zweiten Ableitung von $exp(-tDelta^2)$ gezeigt, welche für die Fixpunktiteration notwendig ist. Mein Ergebnis gibt auch eine Aussage über die Mindest-Existenzdauer der Lösung in Abhängigkeit von einer geeigneten Norm des Anfangswerts. Schließlich geben wir eine vereinheitlichte Methode zur Konstruktion lokaler and globaler Lösungen einer Klasse von nichtlinearen parabolischen Differentialgleichungen.

In this thesis we study the continuum model for some classes of fourth order nonlinear parabolic equation modeling epitaxial thin film growth. In the literature not so much is known about higher order parabolic differential equations, in particular fourth order parabolic equations which is very important in applications (Epitaxial thin films growth, Cahn-Hilliard equation, Image segmentation, etc.). Most of the work on higher order parabolic equation have been done in the case of whole space. However, only few of them are entirely devoted to the particular case of a bounded domain which is realistic and practical. Following Kato’s work there has been a lot of interest in the last decade in mild solutions of epitaxial thin films growth. All these results rely on variations of Kato’s method which allows to obtain global solutions if the initial data are small by a fixed point argument (which is based on Banach fixed point theorem or, equivalently, on a direct fixed point iteration). In this thesis two forms of f will be considered. In the first case we use Interpolation-Extrapolation method. In the second case we consider an integral form of the equation and employ successive approximation combine with Lp-Lq estimate of analytic semigroup to show existence of mild solutions. The basic idea is similar to Wiegner’s approach. However the estimate of the second derivative of $exp(-tDelta^2)$ is needed, this complicates the proof of the fixed point argument. The most crucial thing in our result is that we can control the solution and its derivatives by the initial data. Indeed, global solutions can only be obtained if initial data are small. Finally we give a unified method to construct local and global mild solutions for a class of nonlinear parabolic equation.

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