Topological aspects of nonsmooth optimization

Shikhman, Vladimir; Jongen, Hubertus Th.

doi:30272

Topological aspects of nonsmooth optimization = Topologische Aspekte der nichtglatten Optimierung

Shikhman, Vladimir (Author)

2011

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Vladimir Shikhman

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2011

UmfangIII, 213 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2011

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Jongen, Hubertus Th. (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2011-02-02

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-35854
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/63918/files/3585.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Nichtglatte Optimierung (Genormte SW) ; Zwei-Ebenen-Optimierung (Genormte SW) ; Semiinfinite Optimierung (Genormte SW) ; Morse-Theorie (Genormte SW) ; Komplementarität (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Satz über implizite Funktionen (frei) ; Lipschitz-Mannigfaltigkeit (frei) ; complementarity (frei) ; implicit function theorem (frei) ; Lipschitz manifold (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Man betrachtet folgendes allgemeines Optimierungsproblem: P(f,F): min f(x) s.t. x in M[F], wobei f und F glatte Funktionen sind und M[F] die durch F definierte zulässige Menge bezeichnet. Die Nichtglattheit wird dadurch gegeben, dass F die Menge M[F] auf eine strukturierte Weise festlegt. Es werden nämlich vier Problemtypen untersucht: (i) Optimierungsprobleme mit Komplementaritätsnebenbedingungen (mathematical programming programs with complementarity constraints), (ii) Allgemeine Semi-Innite Optimierungsprobleme (general semi-infinite optimization problems), (iii) Optimierungsprobleme mit verschwindenden Nebenbedingungen (mathematical programming programs with vanishing constraints), (iv) Zweistuge Optimierungsprobleme (bilevel optimization). Das Hauptziel ist es, die nichtglatten Strukturen im Optimierungskontext topologisch zu untersuchen. Der topologische Zugang beinhaltet folgende Fragestellungen: (a) Unter welchen Bedingungen ist M[F] eine Lipschitz-Mannigfaltigkeit der passenden Dimension? (b) Unter welchen Bedingungen ist M[F] stabil, d.h. M[F] bleibt invariant bis auf Homoeomorphismus im Bezug auf glatte Störungen von F? (c) Wie ändert sich die Topologie der unteren Niveaumengen M[f, F]^a bis auf Homotopieaequivalenz? Es wird gezeigt, dass die Fragestellungen (a) und (b) zu Constraint Qualifications führen. Über (c) gelangt man zur Stationarität und zur Kritische-Punkte-Theorie im Sinne von Morse. Man bekommt neue topologisch relevante Optimierungskonzepte in Termen von Ableitungen der definierenden Funktionen f und F. Es ist wichtig anzumerken: die selben Fragestellungen (a)-(c) liefern verschiedene analytische Optimieriungskonzepte, wenn angewandt auf einzelne Problemtypen (i)-(iv). Genau der Unterschied zwischen diesen analytisch beschriebenen Optimierungskonzepten ist ein Schlüssel, die verschiedenen Typen der Nichtglattheit zu vergleichen und theoretisch zu verstehen. Darüber hinaus werden die Auswirkungen von (a) und (b) auf die Theorie der nichtglatten Analysis dargestellt. Es werden topologisch reguläre Punkte für nichtglatte Abbildungen F vom Minimum-Typ eingeführt. Die ausschlaggebende Eigenschaft ist, dass für topologisch reguläre Werte y von F die Menge F^{-1}(y) eine n-l dimensionale Lipschitz-Mannigfaltigkeit ist. Hier ist die Anwendung nichtglatter Versionen des Satzes über implizite Funktionen von Bedeutung (von Clarke bzw. Kummer). Es wird herausgearbeitet, dass die Schwierigkeit deren Anwendung darin besteht, eine passende Aufspaltung des R^n zu finden. Dies führt zum besseren Verständnis der nichtglatten Geometrie und Topologie. Entsprechende nichtglatte Versionen des Satzes von Sard werden bewiesen.

The main goal of our study is an attempt to understand and classify nonsmooth structures arising within the optimization setting: P(f,F): min f(x) s.t. x in M[F], where f is a smooth real-valued objective function, F is a smooth vector-valued function and M[F] a feasible set defined by F in some structured way. We focus rather on the underlying nonsmooth structures which fit the smooth function F to define the feasible set M[F]. The basis of our study is the topological approach. It encompasses two objects: the feasible set M[F] and the lower level sets M[f, F]^a. These objects are considered according to topological, optimization and stability issues. On the topology and stability level we deal with topological invariants of M[F] and M[f, F]^a. Here the questionings mainly arise from. They lead to establishing of an adequate theory on the optimization level. For M[F] Lipschitz manifold property and so-called topological stability are discussed. They naturally lead to constraint qualifications for P(f,F). Topological changes of M[f, F]^a give rise to define stationary points and develop critical point theory for P(f,F). Each Chapter 2-5 is devoted to optimization problems with particular type of nonsmoothness: mathematical programming programs with complementarity constraints, general semi-infinite optimization problems, mathematical programming programs with vanishing constraints, bilevel optimization. For these problems above topological and stability issues are elaborated and corresponding optimization concepts are introduced. It is worth to point out that the same topological questionings provide different (analytical) optimization concepts while applied to particular problems. The difference between these analytically described optimization concepts is a key point in understanding and comparing different kinds of nonsmoothness. In Chapter 6 we enlighten the impacts of our topological approach on nonsmooth analysis theory. Topologically regular points of a min-type nonsmooth mappings F are introduced. The crucial property is that for topologically regular value y of F the nonempty set F^{-1}(y) is an n-l dimensional Lipschitz manifold. Corresponding nonsmooth versions of Sard's Theorem are given.

Fulltext:
PDF