A variational formulation of a floating body

Roth, Magdalena Maria; Wagner, Alfred

doi:30446

A variational formulation of a floating body = Eine variationelle Formulierung eines schwimmenden Körpers

Roth, Magdalena Maria (Author)

2010

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Magdalena Maria Roth

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2010

UmfangX, 97 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010

Zsfassung in engl. und dt. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Wagner, Alfred (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2010-08-30

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-33390
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/62337/files/3339.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Analysis (Genormte SW) ; Variationsrechnung (Genormte SW) ; Partielle Differentialgleichung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; schwimmender Körper (frei) ; analysis (frei) ; calculus of variations (frei) ; partial differential equations (frei) ; floating body (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir eine zweidimensionale Strömung mit einem schwimmenden Körper mit Hilfe variationeller Methoden. Wir betrachten eine wirbelfreie Strömung einer nicht-viskosen, homogenen und inkompressiblen Flüssigkeit in einem endlichen Strömungsgebiet unter dem Einfluss der Schwerkraft und der Oberflächenspannung. Dabei wollen wir die Existenz von 2R-periodischen Wellen zeigen, die sich mit einer konstanten Wellengeschwindigkeit c von links nach rechts ausbreiten ohne ihre Form zu ändern. Der schwimmende Körper ist in dieser Arbeit immer ein Ball, der sich ebenfalls mit konstanter Geschwindigkeit c bewegt. Wir nehmen an, dass sowohl das Wellenprofil, das als Graph einer Funktion gegeben sein soll, als auch das Geschwindigkeitspotential, welches aufgrund der Wirbelfreiheit existiert, stationär bezüglich eines sich mitbewegenden Koordinatensystems sind, so dass wir uns auf ein zeitunabhängiges Problem zurückziehen können. Wir betrachten das zugehörige Energie-Funktional, welches aus der Kinetischen und der Potentiellen Energie der Flüssigkeit, der potentiellen Energie des Körpers, der Energie aufgrund der Oberflächenspannungskräfte, bzw. der Adhäsionskräfte am Körper besteht und vom Geschwindigkeitspotential, dem Wellenprofil und der Lage des schwimmenden Körpers, charakterisiert durch den Mittelpunkt, abhängt. Darüber hinaus nehmen wir an, dass das Volumen der Flüssigkeit konstant ist und formulieren das gegebene Problem als ein Hindernisproblem. Wir beginnen mit einem kurzen Überblick über den physikalischen Hintergrund des Problems und leiten das Energie-Funktional her, welches wir dann untersuchen wollen. Zunächst widmen wir uns dem Fall, dass keine Kinetische Energie vorhanden ist, dies entspricht dem Statischen Fall. In einem geeigneten Raum zeigen wir die Existenz eines Minimieres des Funktionals. Indem wir die Isoperimetrische Ungleichung benutzen, können wir zudem zeigen, dass die Kontaktmenge, also die benetzte Fläche am Körper, aus endlich vielen Komponenten besteht. Im nächsten Schritt berechnen wir dann die Euler-Lagrange Gleichungen, welche uns u.a. die Kontaktwinkel zwischen Körper und Flüssigkeit liefern. Vernachlässigen wir die Oberflächenspannung können wir das Archimedische Prinzip nachweisen. Wir benutzen unsere Ergebnisse im Statischen Fall, um die Existenz eines Minimieres zu zeigen, wenn auch die Kinetische Energie der Flüssigkeit betrachtet wird. Um zu zeigen, dass die Kontaktmenge zwischen Körper und Flüssigkeit auch in diesem Fall aus endlichen vielen Komponenten besteht, verwenden wir ein Integrabilitätsresultat von Mitrea und Mayboroda im Zusammenhang mit dem Neunmann Problem in Lipschitz Gebieten und können so das im Statischen Fall gezeigte Resultat übertragen. Tatsächlich können wir zeigen, dass der Minimierer eine schwache Lösung des zu untersuchenden Problems ist.

In this thesis we consider a two-dimensional motion with a floating body from a variational point of view. We consider an irrotational flow of an inviscid, homogeneous and incompressible liquid of finite depth acted on by gravity and surface tension. We look for 2R-periodic waves which propagate steadily with phase velocity c from the left to the right without alteration of form. The rigid body which will be a sphere throughout this thesis is assumed to move in the same direction having the same speed. Since the wave profile of a steady wave and the velocity potential are stationary with respect to a reference frame in uniform horizontal motion we can restrict ourselves to the time-independent case. Moreover, a volume constraint is considered. We consider the energy functional depending on the velocity potential, the surface of the fluid and the position of the rigid body. Since we consider a floating body forces due to gravity acting on the body and adhesion forces between fluid and body play a role. Therefore, the energy functional consists of the kinetic energy of the fluid, the potential energy of the fluid and the body and the energy due to adhesion and cohesion forces. We assume the interface between fluid and air, and the interface between fluid and rigid body respectively to be given non-parametrically and formulate the problem of a steady motion with a floating body as an obstacle problem. We begin with a brief introduction to the physical background of our model and derive the energy functional which we will examine during the rest of this thesis and give a precise statement of our problem. We proceed with the examination of the static case when no kinetic energy is involved. We define the appropriate function space in which we seek a minimizer and show existence in the static case under certain assumptions. Furthermore, making use of the Isoperimetric inequality we show that the contact set of a minimizer between fluid and body consists of finitely many components. Here, the number of components only depends on given constants. We compute the Euler-Lagrange equations of the energy functional in the static case. In this context we can determine the contact angles between fluid and solid. Moreover, we are able to verify the classical principle of Archimedes when no surface tension force is present and derive necessary conditions otherwise. Then we return to the full problem and prove the existence of a minimizer by showing the lower-semicontinuity of the energy functional. We show an integrability result for the velocity potential, namely that its gradient is integrable up to a power strictly greater than 4. We apply a very general result of Mitrea and Mayboroda about the regularity of the solution of the Neumann boundary problem in Lipschitz domains using Besov scales. This integrability is used to show that the contact set still consists of finitely many components. Moreover, a minimizer of our functional indeed presents a weak solution of our problem meaning that it satisfies the boundary conditions in a weak sense.

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