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Algorithmic aspects of algebraic system theory = Algorithmische Aspekte der algebraischen Systemtheorie



Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Kristina Schindelar

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2010

Umfang135 S.


Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010


Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter


Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2010-03-16

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-32462
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/50040/files/3246.pdf

Einrichtungen

  1. Lehrstuhl D für Mathematik (114710)
  2. Fachgruppe Mathematik (110000)

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Systemtheorie (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; algebraische Systemtheorie (frei) ; Gröbnerbasen (frei) ; system theory (frei) ; algebraic system theory (frei) ; Gröbner bases (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510
msc: 93B25

Kurzfassung
Die Wurzeln der mathematische System- und Kontrolltheorie liegen in der Publikation On Governors von J.C. Maxwell, welche 1868 in Proceedings of the Royal Society of London erschien. Die bahnbrechenden Beiträge von R.E. Kalman etablierten die Systemtheorie als eigene mathematische Disziplin um 1950. Der 1990 erschienene Beitrag von U. Oberst liefert einen fundamentalen Einblick in die algebraische Systemtheorie. In diesem wird eine wichtige algebraische Eigenschaft des Signalraumes als äußerst fruchtbar für die Systemtheorie erkannt, nämlich die Eigenschaft des Signalraumes ein injektiver Kogenerator bezüglich des zugrunde liegenden Operatorringes zu sein. Das Ziel der algebraischen Systemtheorie ist strukturelle Analyse dynamischer Systeme mit Hilfe von algebraischen Methoden. Die zugrundeliegenden Systeme besitzen ihren Ursprung in verschiedenen praktischen Problemen wie beispielsweise den Naturwissenschaften, technischen oder ökonomischen Bereichen. Klassischerweise werden lineare, zeitinvariante Systeme mit Koeffizienten über einem Körper untersucht. Seit jüngster Vergangenheit rückten Variationen dieser Systeme in das Interesse. Aus Sicht der Anwendungen sind entsprechende Erweiterungen offensichtlich interessant. Neben theoretischen Untersuchungen bietet die Computer Algebra einen enormen Gewinn durch konstruktive Untersuchungen. In dieser Arbeit werden sowohl theoretische als auch algorithmische bzw. konstruktive Aspekte betrachtet. Sie ist wie folgt aufgebaut. Kapitel 1 und Kapitel 2 geben eine erweiterte Einführung. Grundlegende Konzepte und Definitionen werden vorgestellt. Zudem werden die folgenden Kapitel aus systemtheoretischer Sicht motiviert. Kapitel 3 behandelt, konträr zum klassischen Fall, Systeme mit Koeffizienten eines Ringes. Im Allgemeinen gründet das Interesse für solche Systeme in der Informationstheorie. Die erforderlichen Anpassungen auf den Ring Fall führen zu Problemen wie Nullteilern und dem Verlust einer Hauptideal Struktur. Deswegen können Konzepte der Codierungstheorie nicht ohne zusätzliche Theorie verallgemeinert werden. Im Körper Fall ist die sogenannte predictable degree property sehr nützlich für verschiedenen Bereiche der Systemtheorie, von Regler Parametrisierung bis zu minimalen Zustandsraum Darstellungen von linearen Systemen. Diese Eigenschaft kann nicht auf direktem Wege an den Ring Fall angepasst werden. Die Veröffentlichung The predictable degree property and row reducedness for systems over a finite ring von M. Kuijper, R. Pinto, J. W. Polderman und P. Rocha bietet neue Rahmenbedingungen welche die Anpassung vom klassischen zum neuen Fall erlauben. Mit Hilfe von Gröbnerbasen konnten diese Ergebnisse zu einem allgemeineren Rahmen erweitert werden, welcher zusätzlich konkrete Berechnungen erlaubt. Der Begriff der sogenannten Gröbner p-Basis wird zu diesem Zwecke eingeführt und der Zusammenhang zu den bekannten Resultaten erläutert. Kapital 4 widmet sich eindimensionalen, zeitinvarianten Systemen mit rationalen Koeffizienten. Dies führt zu der nichtkommutativen Operator Namens rationale Weyl Algebra, welche eine Hauptidealstruktur trägt. Deswegen existiert hier das nichtkommutative Analogon der Smith Form, die sogenannte Jacobson Form. Hit Hilfe dieser Normalform kann ein lineares System in ein steuerbares und autonomes Teilsystem entkoppelt werden. Desweiteren erhält man auf direktem Wege die Ordnung des zugrundeliegenden Differentialgleichungssystems. Allerdings erweist sich auf Grund der nichtkommutativen Gestalt das Problem des Koeffizientenwachstums, welches schon von dem kommutativen Gegenstück bekannt ist, als wesentlich stärker ausgeprägt. In diesem Kapitel wird ein komplett bruchfreier Ansatz zur Berechnung vorgestellt. Die entsprechende Implementierung ist in Form einer Software Bibliothek namens jacobson.lib für das Computer Algebra System Singular::Plural realisiert. Im Rahmen des behavioral approach wird ein Konzept zur linearen exakten Modellierung für eindimensionale Systeme mit konstanten Koeffizienten eingeführt. In Kapitel 5 wird dieser Modellierungsansatz für polynomielle-exponentielle Signale in mehrdimensionalen zeitvarianten Modelklassen entwickelt. Diese Modelklassen sind in den sogenannten Ore Algebren zusammengefasst. Die wesentliche Idee des Ansatzes ist die Entwicklung eines Modells, welches die beobachteten Signale enthält und dabei den größtmöglichen Informationsgehalt hat. Die resultierende Beschreibung erweist sich als äußerst präzise, wie auch im Falle der kontinuierlichen Systeme genauer beschrieben wird. Es werden zwei mögliche Methoden zur Berechnungen dieser Modelle vorgestellt. Eine Methode kann in einem kommutativen Rahmen durchgeführt werden.

The mathematical roots of system and control theory date back to the paper On Governors by J. C. Maxwell published 1868 in Proceedings of the Royal Society of London. The seminal work of R.E. Kalman established system theory as a mathematical discipline in the 1950s. The contribution of U. Oberst, which appeared in 1990, gives fundamental insight for algebraic system theory. A very important algebraic property of the signal space is realized to be highly copious for signals and systems there, namely the property of the signal space to be an injective cogenerator over the underlying operator ring. The goal of algebraic system theory is the structural analysis of dynamical systems using algebraic tools. These systems may arise from various practical problems settled for instance in a scientific, technical or economical area. Classically linear time-invariant systems with field coefficients are studied. In the recent past variations of these systems have proved to be worthy for extended studies. From the applied point of view, there is obviously the interest to consider corresponding generalizations. From the algebraic point of view, some particular settings are very interesting for further investigations since ring theory and homological algebra provide a deep insight. Beyond theoretical studies, the computer algebra machinery allows the enormous benefit of constructive analyses. This thesis elaborates both aspects,the theoretical and the computational, in parallel. It is organized as follows. Chapter 1 and Chapter 2 serve for an extended introduction. System theoretical aspects are provided in Chapter 1. Basic concepts and definitions are presented and furthermore the following chapters are motivated from the system theoretical point of view. Chapter 3 studies systems with coefficients in a finite ring, in contrast to the classical case. The general motivation for this framework stems mainly from communication theory. However, the extension leads to problems like zero-divisors and the principal ideal domain property is lost. Therefore concepts useful for coding fail to generalize straightforwardly. In the field case the so-called predictable degree property is useful for many areas of system theory, ranging from controller parameterization to minimal realizations of linear systems over fields. This property does not carry over directly to the ring case. The paper The predictable degree property and row reducedness for systems over a finite ring by M. Kuijper, R. Pinto, J. W. Polderman and P. Rocha establishes a new framework which allows the adoption of that classical result in a novel setting. By the tool of Gröbner bases these results are extended to a more general framework which additionally allows concrete calculations. For this purpose the notion of the so-called minimal Gröbner p-basis is established and the connection to known results is pointed out. Chapter 4 is focused on one-dimensional systems with time-varying rational coefficients. This leads to the non-commutative operator ring called rational Weyl algebra which is a principal ideal domain. Therefore the non-commutative analogon to the Smith form, the so-called Jacobson form, exists. This normal form can be used to obtain a decomposition into a controllable and an autonomous subsystem of the corresponding linear abstract system. Furthermore the order of the underlying ordinary differential equation system is obtained directly. But computational problems known from the commutative counterpart even increase due to the non-commutative structure, namely the explosive growth of the coefficients. A novel approach which can be applied in a completely fraction free framework is presented in this chapter. This approach shows first how to obtain a decoupled form. It should be stressed that this decoupled form may even be interesting by itself. Further we show how to obtain a normal form from the decoupled form. The implementation is realized as a library called jacobson.lib for the computer algebra system Singular::Plural. This implementation is compared with all implementations which are available to the best of our knowledge. A behavioral approach to linear exact modeling is formulated for one-dimensional systems with constant coefficients by J.C. Willems. This problem of system identification is extended to polynomial-exponential signals in a multi-dimensional time-varying model class in Chapter 5. These model classes are summarized in the so-called Ore algebras. The idea of this approach is to derive a model describing the observed data and containing as much information as possible. It turns out that the particular model classes yield a very precise description, as pointed out in the case of continuous systems. Two alternative possibilities to calculate the models will be presented, one of them working in a purely commutative framework.

Fulltext:
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Dokumenttyp
Dissertation / PhD Thesis

Format
online, print

Sprache
English

Interne Identnummern
RWTH-CONV-112604
Datensatz-ID: 50040

Beteiligte Länder
Germany

 GO


OpenAccess

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The record appears in these collections:
Document types > Theses > Ph.D. Theses
Faculty of Mathematics, Computer Science and Natural Sciences (Fac.1) > Department of Mathematics
Publication server / Open Access
Public records
Publications database
110000
114710

 Record created 2013-01-25, last modified 2022-04-22


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