Shape optimization of a floating body

Franken, Norbert; Wagner, Alfred

doi:29981

Shape optimization of a floating body = Gestaltsoptimierung eines schwimmenden Körpers

Franken, Norbert (Author)

2010

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Norbert Franken

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2010

Umfang137 S. : graph. Darst.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2010

Zsfassung in dt. u. engl. Sprache

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Wagner, Alfred (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2010-02-22

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-31773
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/51559/files/Franken_Norbert.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Analysis (Genormte SW) ; Variationsrechnung (Genormte SW) ; Partielle Differentialgleichung (Genormte SW) ; Freies Randwertproblem (Genormte SW) ; Gestaltoptimierung (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Gestaltsoptimierung (frei) ; analysis (frei) ; calculus of variations (frei) ; partial differential equations (frei) ; shape optimization (frei) ; free boundary problems (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In der vorliegenden Arbeit betrachten wir die variationelle Formulierung eines schwimmenden Körpers in einer idealen Flüssigkeit. Dabei untersuchen wir den Fall einer stationären zweidimensionalen Potentialströmung und sind damit in der Lage, das Geschwindigkeitspotential durch seine konjugiert harmonische Funktion, die Stromfunktion, zu ersetzen. Diese hat im Vergleich zur Potentialfunktion den Vorteil, anstelle von Neumanndaten am Rand Dirichletdaten zu besitzen. Insbesondere können wir so das Gebiet, in dem sich die Flüssigkeit befindet, als Positivitätsmenge der Stromfunktion charakterisieren. Das resultierende zu minimierende Energiefunktional hängt zum einen von der Stromfunktion, zum anderen vom Körper ab. Wir führen diese beiden Minimierungen in zwei aufeinanderfolgenden Schritten durch. Bei der Minimierung der Stromfunktion geben wir als Nebenbedingung vor, dass das Volumen der Flüssigkeit konstant ist. Um dennoch nicht-volumenerhaltende Störungen benutzen zu können, ergänzen wir das Funktional um einen Strafterm und vernachlässigen die Volumenbedingung. Dabei wird der Strafterm so gewählt, dass das ursprüngliche Funktional approximiert wird. Mittels direkter Methoden zeigen wir die Existenz eines Minimieres des bestraften Variationsproblems sowie dessen Beschränktheit und Subharmonizität. Eine Konstruktion von zwei geeigneten Vergleichsfunktionen führt zur Äquivalenz des ursprünglichen und des gestörten Problems unter angemessener Parameterwahl. Außerdem können wir mit Hilfe einer Technik von Morrey Hölderstetigkeit sowie mit einer Methode von Alt und Caffarelli Lipschitzstetigkeit der Stromfunktion als maximal mögliche Regularität nachweisen. Eine Nichtentartungseigenschaft der Stromfunktion impliziert Dichteabschätzungen der freien Flüssigkeitsoberfläche, mit denen wir folgern können, dass der freie Rand lokal endlichen Perimeter hat. Gradientenabschätzungen an der Flüssigkeitsoberfläche, die mit Hilfe von Blow-up Grenzwerten hergeleitet werden, führen schließlich zu der Aussage, dass der reduzierte Rand lokal von der Klasse C^{1,beta} ist. Durch ein weiteres Resultat, welches nur in zwei Dimensionen gültig ist, können wir diese Regularität auf den kompletten freien Rand erweitern. Den optimalen schwimmenden Körper suchen wir in der Familie aller kompakten Mengen mit vorgeschriebenem Volumen, deren Anzahl der Wegzusammenhangskomponenten gleichmäßig beschränkt ist. Außerdem verlangen wir Beschränktheit des Dichteperimeters des Randes, um dort eventuell auftretende Oszillationen auszuschließen. Erneut benutzen wir direkte Methoden, wobei wir mit zwei verschiedenen Gebietskonvergenzen arbeiten, nämlich mit Hausdorff Konvergenz und gamma-Konvergenz. In beiden Fällen können wir die Existenz eines optimalen schwimmenden Körpers nachweisen.

In the present thesis we consider a variational formulation of a floating body in a perfect fluid. In particular, we study the case of a stationary two-dimensional potential flow and thus we are able to replace the velocity potential by its harmonic conjugate which is called the stream function. Compared to the velocity potential the stream function satisfies Dirichlet data instead of Neumann data on the boundary and we can characterize the liquid set as the positivity set of the stream function. The resulting energy functional depends on both stream function and floating body. We realize these two minimizations by working in two separated steps. When minimizing the stream function we work with the constraint that the volume of the fluid has to be constant. However, in order to use non-volume preserving perturbations we add a penalty term and disregard the volume condition. The choice of the penalty term yields an approximation of the original functional. Using direct methods we prove the existence of a minimizer of the penalized problem. Moreover, we show that the minimizer is bounded and subharmonic. By a construction of two appropriate comparison functions we get equivalence of the original and the penalized problem provided we have chosen adequate parameters. Furthermore, we use a technique of Morrey in order to show Hölder continuity and a method of Alt and Caffarelli in order to get Lipschitz continuity of the stream function, which is the maximal regularity which can be proved. A nondegeneracy property of the stream function leads to density estimates on the free surface of the fluid which imply that the free boundary has locally finite perimeter. We use the concept of blow-up limits to deduce gradient estimates on the surface of the fluid which finally lead to the statement that the reduced boundary is locally a C^{1,beta} surface. A further result which is only valid in a two-dimensional setting extends the regularity to the whole boundary. We look for the optimal floating body in the family of all compact sets with prescribed volume and a priori bounded number of connected components. In addition, we postulate boundedness of the density perimeter of the boundary in order to avoid oscillations that may eventually appear. Again we use direct methods and work with two different notions of domain convergence, namely Hausdorff convergence and gamma-convergence. In both cases we are able to show the existence of an optimal floating body.

Fulltext:
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