Untersuchungen zu Tensorprodukten von Moduln symmetrischer Gruppen

Orlob, Johannes; Hiß, Gerhard

doi:910015225

Untersuchungen zu Tensorprodukten von Moduln symmetrischer Gruppen = On tensor products of modules of symmetric groups

Orlob, Johannes (Author)

2009

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Johannes Orlob

ImpressumAachen : Publikationsserver der RWTH Aachen University 2009

UmfangX, 135 S.

Aachen, Techn. Hochsch., Diss., 2009

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Hiß, Gerhard (Thesis advisor)

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2009-12-14

Online
URN: urn:nbn:de:hbz:82-opus-30889
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/51507/files/Orlob_Johannes.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Darstellungstheorie (Genormte SW) ; Symmetrische Gruppe (Genormte SW) ; Mathematik (frei) ; Tensorprodukte (frei) ; Youngmoduln (frei) ; representation theory (frei) ; symmetric group (frei) ; tensor product (frei) ; young modules (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Tensorprodukte von Moduln endlicher Gruppen treten bei vielen Fragestellungen in der gewöhnlichen wie auch modularen Darstellungstheorie auf. Doch ihre Struktur ist im Allgemeinen kaum bekannt. In dieser Arbeit werden wir Tensorprodukte von Moduln symmetrischer Gruppen S_n über Körpern mit Primzahlcharakteristik p unter verschiedenen Aspekten untersuchen. Schwerpunkt bei den Untersuchungen ist die Bestimmung von bestimmten unzerlegbaren Summanden bzw. der vollständigen direkten Zerlegung in unzerlegbare Summanden solcher Tensorprodukte. Dabei werden wir hauptsächlich Tensorprodukte von einfachen Moduln und Moduln mit trivialer Quelle betrachten. Zum Beispiel werden wir Tensorprodukte von Youngmoduln betrachten. Wir führen das verallgemeinerte Signum sgn_n^q, eine Klassenfunktion auf S_n mit Parameter q, ein und zeigen, dass sgn_n^q ein verallgemeinerter Charakter ist. Wir werden Anwendung von sgn_n^q für Tensorprodukte von Youngmoduln angeben. In einigen Fällen werden wir auch sämtliche irreduzible Konstituenten von sgn_n^q ermitteln. In einem weiteren Teil der Arbeit werden wir Tensorprodukte einfacher Moduln zu Hakenpartitionen mit dem natürlichen Modul betrachten. Dabei zeigen wir, dass einige dieser Produkte halbeinfach oder unzerlegbar sind. Über einem Körper der Charakteristik zwei bestimmen wir sämtliche Kompositionsfaktoren des Tensorquadrats des Haupt-Spinmoduls. Zudem werden wir auch Tensorprodukte einfacher Moduln betrachten, die in einem Block mit zyklischem Defekt oder einem Block mit Defektgruppe C_3 x C_3 liegen.

Tensor products of modules of a finite group occur in many areas of ordinary and modular representation theory. In general only little is known about the structure of these modules. This thesis is about various aspects of tensor products of modules of symmetric groups S_n over a field of prime characteristic p. The main focus lies on some special indecomposable summands of such tensor products and the complete decomposition into indecomposable summands of certain tensor products. Simple modules and trivial source modules are mainly focused. For instance we will look at tensor products of Young modules. We introduce the generalized sign sgn_n^q. We will show that this class function of S_n is a generalized character. We give an application of sgn_n^q to tensor products of Young modules. Additionally, we determine in some cases the set of irreducible constituents of sgn_n^q. We will although look at tensor products of the simple natural module and simple modules corresponding to hook partitions. We show that some of these products are semi-simple or indecomposable. Over a field of characteristic two we will determine the simple constituents of the tensor square of the basic spin module. And we will look at tensor products of simple modules lying in a block of cyclic defect or a block with defect group C_3 x C_3.

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